ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1138 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что квадрат натурального числа имеет нечётное количество делителей.

Если число \(n\) делит число \(a\), то число \(m = a : n\) также является делителем числа \(a\).

В случае, когда число \(a\) представляет собой квадрат, существует такая пара делителей, в которой выполняется равенство \(m = n\).

Следовательно, все делители числа \(a\) образуют пары \((n; m)\), и дополнительно имеется делитель, соответствующий квадрату числа, поэтому общее количество делителей оказывается нечетным.

Докажем, что квадрат любого натурального числа имеет нечётное количество делителей.

1. Пусть дано натуральное число \(a\). Рассмотрим его квадрат \(a^2\).

2. Назовём делителем числа \(a^2\) любое натуральное число \(n\), для которого существует натуральное число \(m\), такое что выполняется равенство
\(a^2 = n \cdot m\).

3. Из равенства \(a^2 = n \cdot m\) следует, что если \(n\) является делителем числа \(a^2\), то и число
\(m = \frac{a^2}{n}\)
также является делителем этого числа.

4. Таким образом, все делители числа \(a^2\) можно разбить на пары вида
\((n; m)\),
где \(n \cdot m = a^2\).

5. Обычно в такой паре числа \(n\) и \(m\) различны. Например, если \(n < m\), то \(n \neq m\), и эта пара содержит два разных делителя.

6. Рассмотрим особый случай, когда в паре выполняется равенство
\(n = m\).
Тогда из условия \(n \cdot n = a^2\) получаем
\(n^2 = a^2\).

7. Из равенства квадратов следует, что
\(n = a\),
поскольку \(n\) и \(a\) — натуральные числа.

8. Значит, делитель \(a\) образует пару сам с собой:
\((a; a)\).
Это единственная пара делителей числа \(a^2\), в которой оба элемента совпадают.

9. Все остальные делители числа \(a^2\) образуют пары из двух различных чисел, а делитель \(a\) учитывается только один раз.

10. Следовательно, общее количество делителей числа \(a^2\) равно сумме чётного количества делителей, объединённых в пары, и одного дополнительного делителя \(a\).

11. Таким образом, квадрат натурального числа имеет нечётное количество делителей.

Что и требовалось доказать.