ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1154 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Существуют ли такие значения х и у, при которых многочлены \(-4x^2 — 12xy + 7y^2\) и \(6x^2 + 12xy — 5y^2\) одновременно принимают отрицательные значения?

Если значения многочленов отрицательны, то сумма значений многочленов тоже отрицательна.

Проверим:

\(-4x^2 — 12xy + 7y^2 + (6x^2 + 12xy — 5y^2) = -4x^2 — 12xy + 7y^2 +\)

\(+ 6x^2 + 12xy — 5y^2 = 2x^2 + 2y^2 = 2(x^2 + y^2)\).

Так как \(2(x^2 + y^2) \ge 0\), то не существует таких значений \(x\) и \(y\), при которых данные многочлены одновременно принимают отрицательные значения.

Рассмотрим два многочлена:

\(P(x,y) = -4x^2 — 12xy + 7y^2\)

\(Q(x,y) = 6x^2 + 12xy — 5y^2\)

Необходимо выяснить, существуют ли такие значения \(x\) и \(y\), при которых оба многочлена одновременно принимают отрицательные значения.

Шаг 1. Предположим, что оба многочлена отрицательны

Пусть при некоторых значениях \(x\) и \(y\) выполняются неравенства:

\(P(x,y) < 0\)

\(Q(x,y) < 0\)

Шаг 2. Рассмотрим сумму данных многочленов

Найдём сумму \(P(x,y) + Q(x,y)\):

\((-4x^2 — 12xy + 7y^2) + (6x^2 + 12xy — 5y^2)\)

Шаг 3. Раскроем скобки и приведём подобные члены

Запишем сумму без скобок:

\(-4x^2 — 12xy + 7y^2 + 6x^2 + 12xy — 5y^2\)

Сгруппируем подобные члены:

Члены с \(x^2\): \(-4x^2 + 6x^2 = 2x^2\)

Члены с \(xy\): \(-12xy + 12xy = 0\)

Члены с \(y^2\): \(7y^2 — 5y^2 = 2y^2\)

Шаг 4. Упростим полученное выражение

В результате получаем:

\(P(x,y) + Q(x,y) = 2x^2 + 2y^2 = 2(x^2 + y^2)\)

Шаг 5. Исследуем знак суммы

Так как для любых действительных значений \(x\) и \(y\):

\(x^2 \ge 0\) и \(y^2 \ge 0\),

то:

\(x^2 + y^2 \ge 0\)

Следовательно:

\(2(x^2 + y^2) \ge 0\)

Шаг 6. Сделаем вывод

Сумма многочленов \(P(x,y)\) и \(Q(x,y)\) при любых значениях \(x\) и \(y\) неотрицательна.

Это противоречит предположению о том, что оба многочлена одновременно принимают отрицательные значения, так как сумма двух отрицательных чисел должна быть отрицательной.

Ответ

Не существует таких значений \(x\) и \(y\), при которых многочлены \(-4x^2 — 12xy + 7y^2\) и \(6x^2 + 12xy — 5y^2\) одновременно принимают отрицательные значения.