ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1164 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что значение выражения:

1) \(17^3 + 17^2 — 17 \) кратно 61;

2) 2) \(25^4 — 125^2\) кратно 40;

3) \(5 \cdot 2^{962} — 3 \cdot 2^{961} + 2^{960}\) кратно 60.

1) \(17^3 + 17^2 — 17 = 17 \cdot (17^2 + 17 — 1) = 17 \cdot (289 + 16) = 17 \cdot 305 =\)

\(= 17 \cdot 5 \cdot 61 →\) кратно 61.

2) \(25^4 — 125^2 = (5^2)^4 — (5^3)^2 = 5^8 — 5^6 = 5^6 \cdot (5^2 — 1) =\)

\(= 5^6 \cdot (25 — 1) = 5^6 \cdot 24 = 5^5 \cdot 5 \cdot 8 \cdot 3 = 5^5 \cdot 3 \cdot 40 →\) кратно 40.

3) \(5 \cdot 2^{962} — 3 \cdot 2^{961} + 2^{960} = 2^{960} \cdot (5 \cdot 2^2 — 3 \cdot 2 + 1) = 2^{960} \cdot (5 \cdot 4  -\)

\(-  6 + 1) = 2^{960} \cdot (20 — 5) = 2^{960} \cdot 15 = 2^{958} \cdot 2^2 \cdot 15 = 2^{958} \cdot 4 \cdot 15 =\)

\(= 2^{958} \cdot 60 →\) кратно 60.

1) Докажем, что \(17^3 + 17^2 — 17\) кратно 61:

Шаг 1: Вынесем общий множитель \(17\):

\(17^3 + 17^2 — 17 = 17 \cdot (17^2 + 17 — 1)\)

Шаг 2: Вычислим квадрат 17:

\(17^2 = 289\)

Шаг 3: Подставим и сложим с оставшимися членами:

\(17^2 + 17 — 1 = 289 + 17 — 1 = 305\)

Шаг 4: Разложим 305 на простые множители:

\(305 = 5 \cdot 61\)

Шаг 5: Подставим обратно:

\(17 \cdot 305 = 17 \cdot 5 \cdot 61\)

Вывод: \(17^3 + 17^2 — 17 = 17 \cdot 5 \cdot 61 \pm\) кратно 61.

2) Докажем, что \(25^4 — 125^2\) кратно 40:

Шаг 1: Перепишем числа через степени 5:

\(25 = 5^2, \quad 125 = 5^3\)

\(25^4 — 125^2 = (5^2)^4 — (5^3)^2\)

Шаг 2: Возведем степени:

\((5^2)^4 = 5^{2\cdot4} = 5^8, \quad (5^3)^2 = 5^{3\cdot2} = 5^6\)

Шаг 3: Вынесем \(5^6\) за скобки:

\(5^8 — 5^6 = 5^6 \cdot (5^2 — 1)\)

Шаг 4: Вычислим \(5^2 — 1\):

\(5^2 — 1 = 25 — 1 = 24\)

Шаг 5: Разложим 24 на множители, чтобы выделить 40:

\(24 = 3 \cdot 8, \quad 8 = 2^3\)

Шаг 6: Перепишем произведение:

\(5^6 \cdot 24 = 5^6 \cdot 3 \cdot 8 = 5^5 \cdot 5 \cdot 3 \cdot 8 = 5^5 \cdot 3 \cdot 40\)

Вывод: \(25^4 — 125^2 = 5^5 \cdot 3 \cdot 40 \pm\) кратно 40.

3) Докажем, что \(5 \cdot 2^{962} — 3 \cdot 2^{961} + 2^{960}\) кратно 60:

Шаг 1: Вынесем общий множитель \(2^{960}\):

\(5 \cdot 2^{962} — 3 \cdot 2^{961} + 2^{960} = 2^{960} \cdot (5 \cdot 2^2 — 3 \cdot 2 + 1)\)

Шаг 2: Вычислим степени двойки внутри скобок:

\(5 \cdot 2^2 = 5 \cdot 4 = 20, \quad 3 \cdot 2 = 6\)

Шаг 3: Подставим и сложим:

\(5 \cdot 2^2 — 3 \cdot 2 + 1 = 20 — 6 + 1 = 15\)

Шаг 4: Подставим обратно:

\(2^{960} \cdot 15 = 2^{960} \cdot 15\)

Шаг 5: Разложим \(2^{960}\) как \(2^{958} \cdot 2^2\) для удобства выделения 60:

\(2^{960} \cdot 15 = 2^{958} \cdot 2^2 \cdot 15 = 2^{958} \cdot 4 \cdot 15\)

Шаг 6: Вычислим 4*15 = 60:

\(2^{958} \cdot 4 \cdot 15 = 2^{958} \cdot 60\)

Вывод: \(5 \cdot 2^{962} — 3 \cdot 2^{961} + 2^{960} = 2^{958} \cdot 60 \pm\) кратно 60.