ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1165 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что число:

1) abba делится нацело на 11;

2) aaabbb делится нацело на 37;

3) ababab делится нацело на 7;

4) abab — baba делится нацело на 9 и на 101.

1) \(\overline{abba} = 1000a + 100b + 10b + a = 1001a + 110b = 11(91a + 10b) →\) делится нацело на 11, так как множитель 11 делится на 11.

2) \(\overline{aaabbb} = 100\,000a + 10\,000a + 1000a + 100b + 10b + b =\)

\(= 111\,000a + 111b = 111(1000a + b) →\) делится нацело на 37, так как множитель 111 делится на 37.

3) \(\overline{ababab} = 100\,000a + 10\,000b + 1000a + 100b + 10a + b =\)

\(= 101\,010a + 10\,101b = 10\,101 \cdot (10a + b) →\) делится нацело на 7, так как множитель 10 101 делится на 7.

4) \(\overline{abab} — \overline{baba} = 1000a + 100b + 10a + b — (1000b + 100a +\)

\(+ 10b + a) = 1010a + 101b — 1010b — 101a = 909a — 909b = 909(a — b) =\)

\(= 9 \cdot 101(a — b) →\) делится нацело на 9 и на 101.

1) Докажем, что число \(\overline{abba}\) делится на 11:

Шаг 1: Запишем число в разрядной форме:

\(\overline{abba} = 1000a + 100b + 10b + a\)

Шаг 2: Сложим подобные члены:

\(1000a + a = 1001a, \quad 100b + 10b = 110b\)

Шаг 3: Вынесем общий множитель 11:

\(1001a + 110b = 11(91a + 10b)\)

Вывод: Так как \(11(91a + 10b)\) делится на 11, то \(\overline{abba}\) делится на 11

2) Докажем, что число \(\overline{aaabbb}\) делится на 37:

Шаг 1: Запишем число в разрядной форме:

\(\overline{aaabbb} = 100\,000a + 10\,000a + 1000a + 100b + 10b + b\)

Шаг 2: Сложим подобные члены:

\(100\,000a + 10\,000a + 1000a = 111\,000a, \quad 100b + 10b + b = 111b\)

Шаг 3: Вынесем общий множитель 111:

\(111\,000a + 111b = 111(1000a + b)\)

Шаг 4: Проверим делимость 111 на 37:

111 = 37 · 3, значит 111 делится на 37.

Вывод: \(\overline{aaabbb} = 111(1000a + b)\) делится на 37

3) Докажем, что число \(\overline{ababab}\) делится на 7:

Шаг 1: Запишем число в разрядной форме:

\(\overline{ababab} = 100\,000a + 10\,000b + 1000a + 100b + 10a + b\)

Шаг 2: Сложим подобные члены:

\(100\,000a + 1000a + 10a = 101\,010a, \quad 10\,000b + 100b + b = 10\,101b\)

Шаг 3: Вынесем общий множитель 10\,101:

\(101\,010a + 10\,101b = 10\,101 \cdot (10a + b)\)

Шаг 4: Проверим делимость 10\,101 на 7:

10\,101 = 7 · 1\,443, значит делится на 7.

Вывод: \(\overline{ababab} = 10\,101 \cdot (10a + b)\) делится на 7

4) Докажем, что \(\overline{abab} — \overline{baba}\) делится на 9 и на 101:

Шаг 1: Запишем числа в разрядной форме:

\(\overline{abab} = 1000a + 100b + 10a + b = 1010a + 101b\)

\(\overline{baba} = 1000b + 100a + 10b + a = 1010b + 101a\)

Шаг 2: Вычтем второе число из первого:

\(\overline{abab} — \overline{baba} = (1010a + 101b) — (1010b + 101a) =\)

\(= 1010a — 101a + 101b — 1010b = 909a — 909b\)

Шаг 3: Вынесем общий множитель:

\(909a — 909b = 909(a — b)\)

Шаг 4: Разложим 909 на множители:

909 = 9 · 101

Вывод: \(\overline{abab} — \overline{baba} = 9 \cdot 101(a — b)\) делится на 9 и на 101