ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1166 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

При каком значении а уравнение (х + 2)(х — 4) — (х — 2)(х + 4) = ах имеет бесконечно много корней?

Чтобы уравнение имело бесконечно много корней, левая сторона должна быть равна правой.

\((x + 2)(x — 4) — (x — 2)(x + 4) = ax\)

\(x^2 — 4x + 2x — 8 — x^2 — 4x + 2x + 8 = ax\)

\(-4x = ax\)

\(a = -\frac{4x}{x} = -4\).

Ответ: при \(a = -4\).

Нам нужно найти значение \(a\), при котором уравнение

\((x + 2)(x — 4) — (x — 2)(x + 4) = ax\)

имеет бесконечно много корней. Для этого левая часть уравнения должна быть тождественно равна правой части для всех \(x\).

Шаг 1. Раскроем скобки в первой части левой стороны:

\((x + 2)(x — 4) = x \cdot x + x \cdot (-4) + 2 \cdot x + 2 \cdot (-4) =\)

\(= x^2 — 4x + 2x — 8 = x^2 — 2x — 8\)

Шаг 2. Раскроем скобки во второй части левой стороны:

\((x — 2)(x + 4) = x \cdot x + x \cdot 4 + (-2) \cdot x + (-2) \cdot 4 =\)

\(= x^2 + 4x — 2x — 8 = x^2 + 2x — 8\)

Шаг 3. Подставим результаты в уравнение:

\((x^2 — 2x — 8) — (x^2 + 2x — 8) = ax\)

Шаг 4. Упростим выражение слева, раскрывая скобки со знаком минус:

\(x^2 — 2x — 8 — x^2 — 2x + 8 = ax\)

Шаг 5. Приведем подобные слагаемые:

\(x^2 — x^2 — 2x — 2x — 8 + 8 = ax\)

\(-4x = ax\)

Шаг 6. Для того чтобы это равенство выполнялось для всех \(x\), коэффициенты при \(x\) должны быть равны:

\(-4 = a\)

Шаг 7. Вывод:

Следовательно, уравнение имеет бесконечно много корней при

\(a = -4\)