ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1170 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

При каких значениях а, b, с и d выполняется равенство ab · cd = ad · cb?

\(\overline{ab} \cdot \overline{cd} = \overline{ad} \cdot \overline{cb}\)

\((10a + b)(10c + d) = (10a + d)(10c + b)\)

\(100ac + 10ad + 10bc + bd = 100ac + 10ab + 10cd + bd\)

\(100ac + 10ad + 10bc + bd — 100ac — 10ab — 10cd — bd = 0\)

\(10ad + 10bc — 10ab — 10cd = 0 \quad | : 10\)

\(ad + bc — ab — cd = 0\)

\((ad — ab) — (cd — bc) = 0\)

\(a(d — b) — c(d — b) = 0\)

\((d — b)(a — c) = 0\)

\(d — b = 0 \quad\) или \(\quad a — c = 0\)

\(d = b \quad\quad\quad\quad a = c\)

Ответ: при \(b = d\) или \(a = c\).

Найдем, при каких значениях \(a\), \(b\), \(c\) и \(d\) выполняется равенство

\(\overline{ab} \cdot \overline{cd} = \overline{ad} \cdot \overline{cb}\)

Шаг 1. Запишем двузначные числа через цифры:

\(\overline{ab} = 10a + b\)

\(\overline{cd} = 10c + d\)

\(\overline{ad} = 10a + d\)

\(\overline{cb} = 10c + b\)

Шаг 2. Подставим эти выражения в исходное равенство:

\((10a + b)(10c + d) = (10a + d)(10c + b)\)

Шаг 3. Раскроем скобки в левой части:

\(10a \cdot 10c + 10a \cdot d + b \cdot 10c + b \cdot d = 100ac + 10ad + 10bc + bd\)

Шаг 4. Раскроем скобки в правой части:

\(10a \cdot 10c + 10a \cdot b + d \cdot 10c + d \cdot b = 100ac + 10ab + 10cd + bd\)

Шаг 5. Приравняем полученные выражения:

\(100ac + 10ad + 10bc + bd = 100ac + 10ab + 10cd + bd\)

Шаг 6. Перенесем все слагаемые в левую часть:

\(100ac + 10ad + 10bc + bd — 100ac — 10ab — 10cd — bd = 0\)

Шаг 7. Приведем подобные слагаемые:

\(10ad + 10bc — 10ab — 10cd = 0\)

Шаг 8. Вынесем общий множитель \(10\):

\(10(ad + bc — ab — cd) = 0\)

Шаг 9. Разложим выражение на множители:

\((ad — ab) — (cd — bc) = 0\)

\(a(d — b) — c(d — b) = 0\)

\((d — b)(a — c) = 0\)

Шаг 10. Произведение равно нулю, если хотя бы один множитель равен нулю:

\(d — b = 0\) или \(a — c = 0\)

Шаг 11. Запишем окончательный ответ:

\(b = d\) или \(a = c\)

Ответ: равенство выполняется при \(b = d\) или при \(a = c\).