ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1174 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что значение выражения (а + b — с)(а — b) + (b + с — а)(b — с) + (с + а — b)(с — а) тождественно равно нулю.

\((a + b — c)(a — b) + (b + c — a)(b — c) + (c + a — b)(c — a) = 0\)

\(a^2 — ab + ab — b^2 — ac + bc + b^2 — bc + bc — c^2 — ab + ac + c^2 — ac +\)

\(+ ac — a^2 — bc + ab = 0\)

\(0 = 0 \rightarrow\) что и требовалось доказать.

Докажем, что выражение

\((a + b — c)(a — b) + (b + c — a)(b — c) + (c + a — b)(c — a)\)

тождественно равно нулю, выполняя подробное разложение шаг за шагом.

Шаг 1. Раскроем скобки в первом произведении:

\((a + b — c)(a — b) = a(a — b) + b(a — b) — c(a — b) = a^2 — ab +\)

\(+ ab — b^2 — ac + bc = a^2 — b^2 — ac + bc\)

Шаг 2. Раскроем скобки во втором произведении:

\((b + c — a)(b — c) = b(b — c) + c(b — c) — a(b — c) = b^2 — bc +\)

\(+ bc — c^2 — ab + ac = b^2 — c^2 — ab + ac\)

Шаг 3. Раскроем скобки в третьем произведении:

\((c + a — b)(c — a) = c(c — a) + a(c — a) — b(c — a) = c^2 — ac +\)

\(+ ac — a^2 — bc + ab = c^2 — a^2 — bc + ab\)

Шаг 4. Сложим все три раскрытых выражения:

\((a^2 — b^2 — ac + bc) + (b^2 — c^2 — ab + ac) + (c^2 — a^2 — bc + ab)\)

Шаг 5. Приведем подобные слагаемые:

\(a^2 — a^2 + b^2 — b^2 + c^2 — c^2 — ac + ac — ab + ab + bc — bc = 0\)

Шаг 6. Получаем:

\(0 = 0\)

Выражение тождественно равно нулю, что и требовалось доказать.