ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1178 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что при любом натуральном значении n значение выражения:

1) (4n + 19)² — (3n — 5)² делится нацело на 7;

2) (2n + 5)² — (2n — З)² делится нацело на 16.

1) \((4n + 19)^2 — (3n — 5)^2 = (4n + 19 — 3n + 5)(4n + 19 + 3n — 5) =\)

\(= (n + 24)(7n + 14) = 7 \cdot (n + 24)(n + 2) \rightarrow\) делится нацело на 7.

2) \((2n + 5)^2 — (2n — 3)^2 = (2n + 5 — 2n + 3)(2n + 5 + 2n — 3) =\)

\(= 8(4n + 2) = 8 \cdot 2(2n + 1) = 16 \cdot (2n + 1) \rightarrow\) делится нацело на 16.

Докажем, что при любом натуральном значении \(n\) значения данных выражений делятся на указанные числа.

1) \((4n + 19)^2 — (3n — 5)^2\)

Шаг 1. Применим формулу разности квадратов:

\((a^2 — b^2) = (a — b)(a + b)\)

Здесь \(a = 4n + 19\), \(b = 3n — 5\):

\((4n + 19 — (3n — 5))(4n + 19 + (3n — 5))\)

Шаг 2. Раскроем скобки в каждом выражении:

\((4n + 19 — 3n + 5)(4n + 19 + 3n — 5) = (n + 24)(7n + 14)\)

Шаг 3. Вынесем общий множитель 7 во втором множителе:

\((n + 24)(7(n + 2)) = 7 \cdot (n + 24)(n + 2)\)

Шаг 4. Получаем, что выражение имеет множитель 7, следовательно:

\((4n + 19)^2 — (3n — 5)^2 \text{ делится нацело на } 7\)

2) \((2n + 5)^2 — (2n — 3)^2\)

Шаг 1. Применим формулу разности квадратов:

\((2n + 5 — (2n — 3))(2n + 5 + (2n — 3))\)

Шаг 2. Раскроем скобки:

\((2n + 5 — 2n + 3)(2n + 5 + 2n — 3) = (8)(4n + 2)\)

Шаг 3. Вынесем общий множитель 2 из второго множителя:

\(8 \cdot 2 (2n + 1) = 16 \cdot (2n + 1)\)

Шаг 4. Получаем, что выражение имеет множитель 16, следовательно:

\((2n + 5)^2 — (2n — 3)^2 \text{ делится нацело на } 16\)

Таким образом, доказано, что при любом натуральном \(n\) первые выражение делится на 7, а второе — на 16.