Учебник по алгебре для 7 класса, написанный известными авторами Мерзляком, Полонским и Якиром, представляет собой современное и доступное пособие, предназначенное для учащихся. Он охватывает основные темы алгебры, соответствующие требованиям образовательной программы.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1179 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Докажите, что при любом натуральном значении n значение выражения \((n^2 — 3n + 1)^2 — n^4 — 8n^2 + 3n + 5\) кратно 6.
\((n^2 — 3n + 1)^2 — n^4 — 8n^2 + 3n + 5 = (n^2 — 3n + 1)(n^2 — 3n + 1) — n^4 — \)
\(- 8n^2 + 3n + 5 = n^4 — 3n^3 + n^2 — 3n^3 + 9n^2 — 3n + n^2 — 3n + 1 — n^4 -\)
\(- 8n^2 + 3n + 5 = -6n^3 + 3n^2 — 3n + 6 = (-6n^3 + 6) + (3n^2 — 3n) =\)
\(= -6 \cdot (n^3 — 1) + 3n \cdot (n — 1)\)
Первое слагаемое \(-6 \cdot (n^3 — 1)\) кратно 6; во втором слагаемом числа \(n\) и \(n — 1\) — последовательные числа, значит, одно из них четное и делится на 2, а все слагаемое будет кратно 6. Следовательно, все выражение кратно 6.
Докажем, что при любом натуральном значении \(n\) выражение
\((n^2 — 3n + 1)^2 — n^4 — 8n^2 + 3n + 5\)
делится на 6, выполняя подробное разложение шаг за шагом.
Шаг 1. Раскроем квадрат в первом слагаемом:
\((n^2 — 3n + 1)^2 = (n^2 — 3n + 1)(n^2 — 3n + 1)\)
Шаг 2. Выполним умножение:
\(n^2 \cdot n^2 = n^4\)
\(n^2 \cdot (-3n) = -3n^3\)
\(n^2 \cdot 1 = n^2\)
\(-3n \cdot n^2 = -3n^3\)
\(-3n \cdot (-3n) = 9n^2\)
\(-3n \cdot 1 = -3n\)
\(1 \cdot n^2 = n^2\)
\(1 \cdot (-3n) = -3n\)
\(1 \cdot 1 = 1\)
Шаг 3. Сложим все полученные слагаемые:
\(n^4 — 3n^3 + n^2 — 3n^3 + 9n^2 — 3n + n^2 — 3n + 1 = n^4 — 6n^3 + 11n^2 — 6n + 1\)
Шаг 4. Вычтем остальные слагаемые из исходного выражения:
\(n^4 — 6n^3 + 11n^2 — 6n + 1 — n^4 — 8n^2 + 3n + 5 = -6n^3 + 3n^2 — 3n + 6\)
Шаг 5. Разделим выражение на два множителя для удобства проверки кратности 6:
\(-6n^3 + 3n^2 — 3n + 6 = (-6n^3 + 6) + (3n^2 — 3n) =\)
\(= -6 \cdot (n^3 — 1) + 3n \cdot (n — 1)\)
Шаг 6. Проверим кратность 6:
Первое слагаемое \(-6 \cdot (n^3 — 1)\) явно кратно 6.
Во втором слагаемом \(3n \cdot (n — 1)\) произведение \(n(n — 1)\) — это два последовательных числа, одно из которых обязательно чётное, значит, произведение делится на 2, а умножение на 3 даёт делимость на 6.
Шаг 7. Следовательно, сумма двух слагаемых также делится на 6.
Вывод: при любом натуральном \(n\) выражение \((n^2 — 3n + 1)^2 — n^4 — 8n^2 + 3n + 5\) кратно 6.
Оставь свой отзыв 💬
Комментариев пока нет, будьте первым!