ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1180 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что при любом натуральном значении n значение выражения \(16n^4 — (4n^2 — 2n — 1)^2 + 8n + 1\) кратно 4.

\(16n^4 — (4n^2 — 2n — 1)^2 + 8n + 1 = 16n^4 + 8n + 1 — (4n^2 — 2n — 1)(4n^2 -\)

\(- 2n — 1 = 16n^4 + 8n + 1 — (16n^4 — 8n^3 — 4n^2 — 8n^3 + 4n^2 + 2n — 4n^2 +\)

\(+ 2n + 1 = 16n^4 + 8n + 1 — 16n^4 + 16n^3 + 4n^2 — 4n^2 + 8n — 1\)

\(= 16n^3 + 4n^2 + 4n = 4n(4n^2 + n + 1) \rightarrow\) кратно 4.

Докажем, что при любом натуральном значении \(n\) выражение

\(16n^4 — (4n^2 — 2n — 1)^2 + 8n + 1\)

делится на 4, выполняя подробное разложение шаг за шагом.

Шаг 1. Раскроем квадрат:

\((4n^2 — 2n — 1)^2 = (4n^2 — 2n — 1)(4n^2 — 2n — 1)\)

Шаг 2. Выполним умножение по формуле \((a — b — c)^2 = a^2 — 2ab — 2ac + b^2 + 2bc + c^2\) или стандартным распределением:

\(4n^2 \cdot 4n^2 = 16n^4\)

\(4n^2 \cdot (-2n) = -8n^3\)

\(4n^2 \cdot (-1) = -4n^2\)

\(-2n \cdot 4n^2 = -8n^3\)

\(-2n \cdot (-2n) = 4n^2\)

\(-2n \cdot (-1) = 2n\)

\(-1 \cdot 4n^2 = -4n^2\)

\(-1 \cdot (-2n) = 2n\)

\(-1 \cdot (-1) = 1\)

Шаг 3. Сложим все слагаемые:

\(16n^4 — 16n^3 — 4n^2 + 4n^2 + 2n + (-4n^2 + 2n + 1) = 16n^4 -\)

\(- 16n^3 — 4n^2 + 4n^2 — 4n^2 + 4n + 1 = 16n^4 — 16n^3 — 4n^2 + 4n + 1\)

Шаг 4. Подставим раскрытый квадрат в исходное выражение:

\(16n^4 — (16n^4 — 16n^3 — 4n^2 + 4n + 1) + 8n + 1\)

Шаг 5. Раскроем скобки и упростим:

\(16n^4 — 16n^4 + 16n^3 + 4n^2 — 4n — 1 + 8n + 1 = 16n^3 + 4n^2 + 4n\)

Шаг 6. Вынесем общий множитель 4:

\(16n^3 + 4n^2 + 4n = 4(4n^3 + n^2 + n)\)

Шаг 7. Так как выражение имеет множитель 4, оно делится на 4 для любого натурального \(n\).

Вывод: \({16n^4 — (4n^2 — 2n — 1)^2 + 8n + 1 \text{ кратно } 4}\)