ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1181 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

При каком значении а уравнение \((a — 3)(a + 5)x = a^2 — 9\):

1) имеет бесконечно много корней;

2) не имеет корней;

3) имеет один корень?

\((a — 3)(a + 5)x = a^2 — 9\)

1) Уравнение имеет бесконечно много корней при \(a = 3\):

\((3 — 3)(3 + 5)x = 3^2 — 9\)

\(0x = 0\)

2) Уравнение не имеет корней при \(a = -5\):

\((-5 — 3)(-5 + 5)x = (-5)^2 — 9\)

\(-8 \cdot 0 \cdot x = 25 — 9\)

\(0 \ne 16\)

3) Уравнение имеет один корень при \(a \ne 3\) и \(a \ne -5\)

Рассмотрим уравнение:

\((a — 3)(a + 5)x = a^2 — 9\)

Для анализа корней уравнения рассмотрим три случая в зависимости от значения \(a\).

1) Уравнение имеет бесконечно много корней.

Для того чтобы уравнение имело бесконечно много корней, левая часть должна быть равна правой тождественно при любом \(x\). Это возможно, если коэффициент при \(x\) равен нулю и правая часть тоже равна нулю:

\(a — 3 = 0 \quad\text{или}\quad a + 5 = 0\)?

Проверим сначала \((a — 3) = 0 \Rightarrow a = 3\)

Подставим в исходное уравнение:

\((3 — 3)(3 + 5)x = 3^2 — 9 \Rightarrow 0 \cdot x = 9 — 9 \Rightarrow 0 = 0\)

Условие выполняется, следовательно:

\(a = 3\)

В этом случае уравнение имеет бесконечно много корней.

2) Уравнение не имеет корней.

Уравнение не имеет корней, если коэффициент при \(x\) равен нулю, но правая часть не равна нулю:

\((a — 3)(a + 5) = 0\)

Рассмотрим второй корень \((a + 5) = 0 \Rightarrow a = -5\)

Подставим в уравнение:

\((-5 — 3)(-5 + 5)x = (-5)^2 — 9 \Rightarrow -8 \cdot 0 \cdot x = 25 — 9 \Rightarrow 0 = 16\)

Это невозможно, следовательно:

\(a = -5\)

В этом случае уравнение не имеет корней.

3) Уравнение имеет один корень.

Если коэффициент при \(x\) не равен нулю, то уравнение линейное относительно \(x\) и имеет один корень:

\((a — 3)(a + 5) \ne 0 \Rightarrow a \ne 3\) и \(a \ne -5\)

Таким образом, при всех остальных значениях \(a\) уравнение имеет один корень.

Вывод:

1) Бесконечно много корней: \(a = 3\)

2) Не имеет корней: \(a = -5\)

3) Имеет один корень: \(a \ne 3\) и \(a \ne -5\)