ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1184 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что не существует натурального значения п, при котором значение выражения (8n + 5)(2n + 1) — (4n + 1)² делилось бы нацело на 5.

\((8n + 5)(2n + 1) — (4n + 1)^2 = 16n^2 + 8n + 10n + 5 — (16n^2 + 8n + 1) =\)

\(= 16n^2 + 18n + 5 — 16n^2 — 8n — 1 = 10n + 4 \rightarrow\) не делится нацело на 5, так как одно слагаемое, \(10n\), делится на 5, а второе слагаемое, 4, не делится на 5.

1. Раскроем скобки в первом произведении \((8n + 5)(2n + 1)\):

\((8n + 5)(2n + 1) = 8n \cdot 2n + 8n \cdot 1 + 5 \cdot 2n + 5 \cdot 1 = 16n^2 + 8n + 10n + 5\)

2. Объединим подобные слагаемые:

\(16n^2 + 8n + 10n + 5 = 16n^2 + 18n + 5\)

3. Раскроем скобки во втором выражении \((4n + 1)^2\):

\((4n + 1)^2 = (4n)^2 + 2 \cdot 4n \cdot 1 + 1^2 = 16n^2 + 8n + 1\)

4. Подставим полученные выражения в исходное выражение:

\((8n + 5)(2n + 1) — (4n + 1)^2 = (16n^2 + 18n + 5) — (16n^2 + 8n + 1)\)

5. Выполним вычитание поочередно для каждого слагаемого:

\(16n^2 — 16n^2 = 0\)

\(18n — 8n = 10n\)

\(5 — 1 = 4\)

6. Получаем упрощённое выражение:

\((8n + 5)(2n + 1) — (4n + 1)^2 = 10n + 4\)

7. Теперь проверим, делится ли \(10n + 4\) на 5:

Выражение \(10n + 4\) можно рассмотреть по модулю 5:

\(10n \equiv 0 \ (\text{mod } 5)\), так как \(10n = 2 \cdot 5n\) и делится на 5.

\(4 \equiv 4 \ (\text{mod } 5)\), так как 4 на 5 не делится.

8. Сумма по модулю 5:

\(10n + 4 \equiv 0 + 4 \equiv 4 \ (\text{mod } 5)\)

9. Так как остаток равен 4, выражение \(10n + 4\) не делится на 5 для любого натурального \(n\).

10. Следовательно, доказано, что не существует натурального значения \(n\), при котором исходное выражение \((8n + 5)(2n + 1) — (4n + 1)^2\) делилось бы нацело на 5.