ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1185 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Существует ли такое натуральное значение n, при котором значение выражения (2n — 3)(2n + 3) — (n + З)² не делилось бы нацело на 3?

\((2n — 3)(2n + 3) — (n + 3)^2 = 4n^2 — 9 — n^2 — 6n — 9 = 3n^2 — 6n — 18 =\)

\(= 3(n^2 — 2n — 6) →\) делится нацело на 3 при любом значении \((n)\), так как множитель 3 делится на 3.

Рассмотрим выражение \((2n — 3)(2n + 3) — (n + 3)^2\) и выясним, существует ли такое натуральное число \((n)\), при котором оно не делится на 3.

1. Раскроем скобки в первом слагаемом:

\((2n — 3)(2n + 3) = 2n \cdot 2n + 2n \cdot 3 — 3 \cdot 2n — 3 \cdot 3 =\)

\(= 4n^2 + 6n — 6n — 9 = 4n^2 — 9\)

2. Раскроем скобки во втором слагаемом:

\((n + 3)^2 = n^2 + 3 \cdot n + 3 \cdot n + 9 = n^2 + 6n + 9\)

3. Подставим полученные выражения обратно в исходное:

\((2n — 3)(2n + 3) — (n + 3)^2 = (4n^2 — 9) — (n^2 + 6n + 9)\)

4. Раскроем скобки со знаком минус:

\(4n^2 — 9 — n^2 — 6n — 9 = 4n^2 — n^2 — 6n — 9 — 9 = 3n^2 — 6n — 18\)

5. Вынесем общий множитель 3:

\(3n^2 — 6n — 18 = 3(n^2 — 2n — 6)\)

6. Заметим, что теперь выражение имеет вид \(3 \cdot (\text{что-то})\), то есть делится на 3 нацело для любого целого числа \((n)\).

7. Поскольку мы рассматриваем натуральные числа \((n = 1, 2, 3, \dots)\), делимость на 3 не зависит от конкретного значения \((n)\), потому что множитель 3 уже вынесен.

8. Следовательно, не существует такого натурального числа \((n)\), при котором выражение \((2n — 3)(2n + 3) — (n + 3)^2\) не делилось бы на 3.

Вывод: выражение всегда делится на 3 для любого натурального числа \(n\).