ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1188 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Сумму какого одночлена и трёхчлена 4а² — 6ab + 9b² можно разложить на множители по формуле квадрата двучлена? Найдите ещё три таких одночлена.

1) \(4a^2 — 6ab + 9b^2 — 6ab = 4a^2 — 12ab + 9b^2 = (2a — 3b)^2\);

2) \(4a^2 — 6ab + 9b^2 + 18ab = 4a^2 + 12ab + 9b^2 = (2a + 3b)^2\);

3) \(4a^2 — 6ab + 9b^2 + (-3a^2) = a^2 — 6ab + 9b^2 = (a — 3b)^2\);

4) \(4a^2 — 6ab + 9b^2 + (-6,75b^2) = 4a^2 — 6ab + 2,25b^2 = (2a — 1,5b)^2\).

Нам дан трёхчлен: \(4a^2 — 6ab + 9b^2\). Нужно найти одночлен \(x\), такой что сумма одночлена и трёхчлена разлагается на множители по формуле квадрата двучлена: \( (p \pm q)^2 = p^2 \pm 2pq + q^2 \).

1. Определяем структуру квадрата двучлена

Сравним наш трёхчлен с общим видом квадрата двучлена:

\( (m a + n b)^2 = (m a)^2 + 2 (m a)(n b) + (n b)^2 = m^2 a^2 + 2 m n ab + n^2 b^2 \)

Наш трёхчлен: \(4a^2 — 6ab + 9b^2\).

Сравниваем коэффициенты:

• Коэффициент при \(a^2\): \(4 = m^2 \Rightarrow m = 2\) или \(m = -2\)
• Коэффициент при \(b^2\): \(9 = n^2 \Rightarrow n = 3\) или \(n = -3\)
• Коэффициент при \(ab\): \(-6 = 2 m n\)

2. Находим нужные одночлены

Вычисляем 2mn для всех вариантов:

• Если \(m = 2\) и \(n = 3\), то \(2 m n = 2 * 2 * 3 = 12 \neq -6\)
• Если \(m = 2\) и \(n = -3\), то \(2 m n = 2 * 2 * (-3) = -12 \neq -6\)
• Если \(m = -2\) и \(n = 3\), то \(2 m n = 2 * (-2) * 3 = -12 \neq -6\)
• Если \(m = -2\) и \(n = -3\), то \(2 m n = 2 * (-2) * (-3) = 12 \neq -6\)

Коэффициент при \(ab\) не совпадает с нужным, поэтому добавляем одночлен \(x\), чтобы получить квадрат двучлена.

3. Первый вариант: разложение на \((2a — 3b)^2\)

Формула: \((2a — 3b)^2 = 4a^2 — 12ab + 9b^2\)

Наш трёхчлен: \(4a^2 — 6ab + 9b^2\)

Нужно добавить одночлен \(x\), чтобы получить квадрат:

\(4a^2 — 6ab + 9b^2 + x = 4a^2 — 12ab + 9b^2\)

Находим \(x\):

\(x = -12ab + 9b^2 — ( — 6ab + 9b^2 + 4a^2 — 4a^2) \)

Проще: \(x = -6ab\)

Проверка: \(4a^2 — 6ab + 9b^2 — 6ab = 4a^2 — 12ab + 9b^2 = (2a — 3b)^2\)

4. Второй вариант: разложение на \((2a + 3b)^2\)

\((2a + 3b)^2 = 4a^2 + 12ab + 9b^2\)

Чтобы получить этот квадрат, добавляем одночлен:

\(x = 4a^2 + 12ab + 9b^2 — (4a^2 — 6ab + 9b^2) = 18ab\)

Проверка: \(4a^2 — 6ab + 9b^2 + 18ab = 4a^2 + 12ab + 9b^2 = (2a + 3b)^2\)

5. Третий вариант: разложение на \((a — 3b)^2\)

\((a — 3b)^2 = a^2 — 6ab + 9b^2\)

Чтобы получить этот квадрат, добавляем одночлен:

\(x = a^2 — 6ab + 9b^2 — (4a^2 — 6ab + 9b^2) = -3a^2\)

Проверка: \(4a^2 — 6ab + 9b^2 + (-3a^2) = a^2 — 6ab + 9b^2 = (a — 3b)^2\)

6. Четвёртый вариант: разложение на \((2a — 1,5b)^2\)

\((2a — 1,5b)^2 = 4a^2 — 6ab + 2,25b^2\)

Найдем одночлен \(x\), который нужно добавить:

\(x = 4a^2 — 6ab + 2,25b^2 — (4a^2 — 6ab + 9b^2) = -6,75b^2\)

Проверка: \(4a^2 — 6ab + 9b^2 + (-6,75b^2) = 4a^2 — 6ab + 2,25b^2 = (2a — 1,5b)^2\)

7. Ответ

Сумма трёхчлена \(4a^2 — 6ab + 9b^2\) с одночленами, которая разлагается на квадрат двучлена:

• \(-6ab\)
• \(18ab\)
• \(-3a^2\)
• \(-6,75b^2\)