ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1189 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что не имеет корней уравнение:

1) х² — 8х + 18 = 0;

2) х² + х + 1 = 0.

1) \(x^2 — 8x + 18 = 0\)

\(x^2 — 8x + 16 + 2 = 0\)

\((x — 4)^2 + 2 = 0\)

\((x — 4)^2 = -2\), \( \) так как \((x — 4)^2 \ge 0\), то ответ не может быть отрицательным числом, следовательно, уравнение не имеет корней.

2) \(x^2 + x + 1 = 0\)

\(x^2 + x + \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 0\)

\(\left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4} = 0\)

\(\left(x + \frac{1}{2}\right)^2 = -\frac{3}{4}\), \( \) так как \(\left(x + \frac{1}{2}\right)^2 \ge 0\), то ответ не может быть отрицательным числом, следовательно, уравнение не имеет корней.

1) Уравнение \(x^2 — 8x + 18 = 0\)

Начнем с уравнения:

\(x^2 — 8x + 18 = 0\)

Выделим полный квадрат. Для этого берем коэффициент при \(x\), делим его на 2 и возводим в квадрат:

Коэффициент при \(x\) равен \(-8\), делим на 2: \(-8 / 2 = -4\)

Возводим в квадрат: \((-4)^2 = 16\)

Добавим и вычтем 16, чтобы выделить полный квадрат:

\(x^2 — 8x + 16 + 2 = 0\)

Выделяем квадрат суммы:

\((x — 4)^2 + 2 = 0\)

Теперь выразим квадратное выражение отдельно:

\((x — 4)^2 = -2\)

Заметим, что \((x — 4)^2 \ge 0\) для любого действительного числа \(x\), так как квадрат любого числа неотрицателен.

Следовательно, левая часть \((x — 4)^2\) всегда \(\ge 0\), а правая часть равна \(-2 < 0\).

Так как не существует действительного числа, квадрат которого равен отрицательному числу, уравнение не имеет действительных корней.

2) Уравнение \(x^2 + x + 1 = 0\)

Начнем с уравнения:

\(x^2 + x + 1 = 0\)

Выделим полный квадрат. Для этого берем коэффициент при \(x\), делим его на 2 и возводим в квадрат:

Коэффициент при \(x\) равен \(1\), делим на 2: \(1 / 2 = \frac{1}{2}\)

Возводим в квадрат: \(\left(\frac{1}{2}\right)^2 = \frac{1}{4}\)

Добавим и вычтем \(\frac{1}{4}\) для выделения квадрата:

\(x^2 + x + \frac{1}{4} + \left(1 — \frac{1}{4}\right) = 0\)

\(x^2 + x + \frac{1}{4} + \frac{3}{4} = 0\)

Выделяем квадрат суммы:

\(\left(x + \frac{1}{2}\right)^2 + \frac{3}{4} = 0\)

Теперь выразим квадратное выражение отдельно:

\(\left(x + \frac{1}{2}\right)^2 = -\frac{3}{4}\)

Заметим, что \(\left(x + \frac{1}{2}\right)^2 \ge 0\) для любого действительного числа \(x\), так как квадрат любого числа неотрицателен.

Правая часть равна \(-\frac{3}{4} < 0\).

Так как не существует действительного числа, квадрат которого равен отрицательному числу, уравнение не имеет действительных корней.

Вывод:

Оба уравнения не имеют действительных корней, так как при выделении полного квадрата получаем отрицательное число, что невозможно для квадрата действительного числа.