ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1190 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Разложите на множители:

1) \( \frac{1}{64}a^8 — b^6  \)

2) \( a^3b^6c^9 + 8  \)

3) \( x^{21}y^{24} — m^{12}n^{15} = \)

4) \( a^6b^6 + 1 \)

1) \( \frac{1}{64}a^8 — b^6 = \left(\frac{1}{8}a^4\right)^2 — (b^3)^2 = \left(\frac{1}{8}a^4 — b^3\right)\left(\frac{1}{8}a^4 + b^3\right) \);

2) \( a^3b^6c^9 + 8 = (ab^2c^3)^3 + 2^3 = (ab^2c^3 + 2)(a^2b^4c^6 — 2ab^2c^3 + 4) \);

3) \( x^{21}y^{24} — m^{12}n^{15} = (x^7y^8)^3 — (m^4n^5)^3 = (x^7y^8 — m^4n^5) \cdot (x^{14}y^{16} +\)

\(+ x^7y^8m^4n^5 + m^8n^{10}) \);

4) \( a^6b^6 + 1 = (a^2b^2)^3 + 1 = (a^2b^2 + 1)(a^4b^4 — a^2b^2 + 1) \).

1) Разложим \( \frac{1}{64}a^8 — b^6 \) на множители:

Сначала заметим, что это разность квадратов:
\(
\frac{1}{64}a^8 — b^6 = \left(\frac{1}{8}a^4\right)^2 — (b^3)^2
\)
Используем формулу разности квадратов: \( X^2 — Y^2 = (X — Y)(X + Y) \).
Здесь \( X = \frac{1}{8}a^4 \), \( Y = b^3 \), тогда:
\(
\frac{1}{64}a^8 — b^6 = \left(\frac{1}{8}a^4 — b^3\right)\left(\frac{1}{8}a^4 + b^3\right)
\)

2) Разложим \( a^3b^6c^9 + 8 \) на множители:

Заметим, что это сумма кубов:
\(
a^3b^6c^9 + 8 = (ab^2c^3)^3 + 2^3
\)
Используем формулу суммы кубов: \( X^3 + Y^3 = (X + Y)(X^2 — XY + Y^2) \).
Здесь \( X = ab^2c^3 \), \( Y = 2 \), тогда:
\(
a^3b^6c^9 + 8 = (ab^2c^3 + 2) \cdot \left((ab^2c^3)^2 — (ab^2c^3)\cdot 2 + 2^2\right)
\)
Теперь раскрываем скобки второго множителя:
\(
(ab^2c^3)^2 = a^2b^4c^6, \quad (ab^2c^3)\cdot 2 = 2ab^2c^3, \quad 2^2 = 4
\)
Следовательно:
\(
a^3b^6c^9 + 8 = (ab^2c^3 + 2)(a^2b^4c^6 — 2ab^2c^3 + 4)
\)

3) Разложим \( x^{21}y^{24} — m^{12}n^{15} \) на множители:

Заметим, что это разность кубов:
\(
x^{21}y^{24} — m^{12}n^{15} = (x^7y^8)^3 — (m^4n^5)^3
\)
Используем формулу разности кубов: \( X^3 — Y^3 = (X — Y)(X^2 + XY + Y^2) \).
Здесь \( X = x^7y^8 \), \( Y = m^4n^5 \), тогда:
\(
x^{21}y^{24} — m^{12}n^{15} = (x^7y^8 — m^4n^5) \cdot \left((x^7y^8)^2 + x^7y^8 m^4n^5 + (m^4n^5)^2\right)
\)
Вычисляем степени:
\((x^7y^8)^2 = x^{14}y^{16}\), \((m^4n^5)^2 = m^8n^{10}\)
Следовательно:
\(
x^{21}y^{24} — m^{12}n^{15} = (x^7y^8 — m^4n^5) \cdot (x^{14}y^{16} + x^7y^8 m^4n^5 + m^8n^{10})
\)

4) Разложим \( a^6b^6 + 1 \) на множители:

Заметим, что это сумма кубов:
\(
a^6b^6 + 1 = (a^2b^2)^3 + 1^3
\)
Используем формулу суммы кубов: \( X^3 + Y^3 = (X + Y)(X^2 — XY + Y^2) \).
Здесь \( X = a^2b^2 \), \( Y = 1 \), тогда:
\(
a^6b^6 + 1 = (a^2b^2 + 1) \cdot \left((a^2b^2)^2 — a^2b^2\cdot 1 + 1^2\right)
\)
Вычисляем степени: \((a^2b^2)^2 = a^4b^4\), \(1^2 = 1\)
Следовательно:
\(a^6b^6 + 1 = (a^2b^2 + 1)(a^4b^4 — a^2b^2 + 1)\)