ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1194 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Делится ли значение выражения 654³ — 554³ нацело на 200?

\(654^3 — 554^3 = (654 — 554)(654^2 + 654 \cdot 554 + 554^2) =\)

\(= 100 \cdot (654^2 + 654 \cdot 554 + 554^2)\) — так как во втором множителе

\((654^2 + 654 \cdot 554 + 554^2)\) — все слагаемые четные, то можно вынести число 2 за скобку, тогда за скобкой будет число 200. Если один из множителей делится на 200, то и все выражение делится на 200.

Проверим, делится ли значение выражения \(654^3 — 554^3\) нацело на 200.

Используем формулу разности кубов:

\((a^3 — b^3) = (a — b)(a^2 + a \cdot b + b^2)\)

Подставим \(a = 654\), \(b = 554\):

\(654^3 — 554^3 = (654 — 554)(654^2 + 654 \cdot 554 + 554^2)\)

Вычислим первый множитель:

\(654 — 554 = 100\)

Рассмотрим второй множитель \(654^2 + 654 \cdot 554 + 554^2\).

Отдельно проанализируем каждое слагаемое:

\(654^2\) — число четное, так как 654 четное.

\(654 \cdot 554\) — произведение двух четных чисел, значит, также четное.

\(554^2\) — квадрат четного числа, значит, четное.

Следовательно, все слагаемые во втором множителе четные, значит, их сумма делится на 2.

Обозначим:

\(654^2 + 654 \cdot 554 + 554^2 = 2k\), где \(k\) — целое число.

Тогда всё выражение примет вид:

\(654^3 — 554^3 = 100 \cdot 2k = 200k\)

Так как \(k\) — целое число, произведение \(200k\) делится на 200 нацело.

Вывод: значение выражения \(654^3 — 554^3\) делится на 200.