ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1196 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Из следующих четырёх выражений только три можно разложить на множители. Найдите эти выражения и разложите их на множители:

1) \(9mx — 6nx + 6my — 4ny\)

2) \(36x^2 — 24x + 4 — y^2 \)

3) \(x^2 — 4x + y^2 + 2y + 5 \)

4) \(4a + 3 + a^2 + 2b — b^2 \)

1) \(9mx — 6nx + 6my — 4ny = 3x(3m — 2n) + 2y(3m — 2n) =\)

\(= (3m — 2n)(3x + 2y)\);

2) \(36x^2 — 24x + 4 — y^2 = (6x — 2)^2 — y^2 = (6x — 2 — y)(6x — 2 + y)\);

3) \(x^2 — 4x + y^2 + 2y + 5 = (x^2 — 4x + 4) + (y^2 + 2y + 1) =\)

\(= (x — 2)^2 + (y + 1)^2\) ⇒ нельзя разложить на множители;

4) \(4a + 3 + a^2 + 2b — b^2 = (a^2 + 4a + 4) — (b^2 — 2b + 1) =\)

\(= (a + 2)^2 — (b — 1)^2 = (a + 2 — b + 1)(a + 2 + b — 1) =\)

\(= (a — b + 3)(a + b + 1)\).

1) Разложим на множители выражение \(9mx — 6nx + 6my — 4ny\).

Сгруппируем слагаемые, содержащие \(x\), и слагаемые, содержащие \(y\):

\(9mx — 6nx + 6my — 4ny = (9mx — 6nx) + (6my — 4ny)\).

Вынесем общий множитель в каждой группе:

\(9mx — 6nx = 3x(3m — 2n)\),

\(6my — 4ny = 2y(3m — 2n)\).

Подставим полученные выражения:

\(3x(3m — 2n) + 2y(3m — 2n)\).

Вынесем общий множитель \((3m — 2n)\):

\((3m — 2n)(3x + 2y)\).

Ответ: \((3m — 2n)(3x + 2y)\).

2) Разложим на множители выражение \(36x^2 — 24x + 4 — y^2\).

Рассмотрим первые три слагаемых:

\(36x^2 — 24x + 4 = (6x)^2 — 2 \cdot 6x \cdot 2 + 2^2\).

Это полный квадрат:

\((6x — 2)^2\).

Подставим в исходное выражение:

\((6x — 2)^2 — y^2\).

Получено разность квадратов:

\((6x — 2)^2 — y^2 = (6x — 2 — y)(6x — 2 + y)\).

Ответ: \((6x — 2 — y)(6x — 2 + y)\).

3) Разложим на множители выражение \(x^2 — 4x + y^2 + 2y + 5\).

Сгруппируем слагаемые по переменным:

\((x^2 — 4x) + (y^2 + 2y) + 5\).

Дополняем до квадратов:

\(x^2 — 4x = (x^2 — 4x + 4) — 4\),

\(y^2 + 2y = (y^2 + 2y + 1) — 1\).

Подставим:

\((x^2 — 4x + 4) + (y^2 + 2y + 1) — 4 — 1 + 5\).

Сложим числа:

\((x^2 — 4x + 4) + (y^2 + 2y + 1)\).

Запишем в виде квадратов:

\((x — 2)^2 + (y + 1)^2\).

Сумма квадратов не разлагается на множители над действительными числами.

Ответ: разложить на множители нельзя.

4) Разложим на множители выражение \(4a + 3 + a^2 + 2b — b^2\).

Перепишем, упорядочив слагаемые:

\(a^2 + 4a + 3 + 2b — b^2\).

Сгруппируем:

\((a^2 + 4a + 4) — (b^2 — 2b + 1)\).

Пояснение:

\(a^2 + 4a + 4 = (a + 2)^2\),

\(b^2 — 2b + 1 = (b — 1)^2\).

Подставим:

\((a + 2)^2 — (b — 1)^2\).

Используем формулу разности квадратов:

\((a + 2 — (b — 1))(a + 2 + (b — 1))\).

Упростим скобки:

\((a — b + 3)(a + b + 1)\).

Ответ: \((a — b + 3)(a + b + 1)\).