ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1197 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Представьте в виде произведения четырёх множителей выражение:

1) \(a^5 — a^4 — 16a + 16 \)

2) \(a^{2n}b^{2n} — b^{2n} — a^{2n} + 1 \)

1) \(a^5 — a^4 — 16a + 16 = a^4(a — 1) — 16(a — 1) = (a — 1)(a^4 — 16) =\)

\(= (a — 1)(a^2 — 4)(a^2 + 4) = (a — 1)(a — 2)(a + 2)(a^2 + 4)\);

2) \(a^{2n}b^{2n} — b^{2n} — a^{2n} + 1 = b^{2n}(a^{2n} — 1) — (a^{2n} — 1) =\)

\(= (a^{2n} — 1)(b^{2n} — 1) = (a^n — 1)(a^n + 1)(b^n — 1)(b^n + 1)\).

1) Представим в виде произведения четырёх множителей выражение \(a^5 — a^4 — 16a + 16\).

Сгруппируем слагаемые:

\(a^5 — a^4 — 16a + 16 = (a^5 — a^4) — (16a — 16)\).

Вынесем общий множитель в каждой группе:

\(a^5 — a^4 = a^4(a — 1)\),

\(16a — 16 = 16(a — 1)\).

Подставим полученные выражения:

\(a^4(a — 1) — 16(a — 1)\).

Вынесем общий множитель \((a — 1)\):

\((a — 1)(a^4 — 16)\).

Разложим разность квадратов:

\(a^4 — 16 = (a^2)^2 — 4^2 = (a^2 — 4)(a^2 + 4)\).

Продолжим разложение:

\(a^2 — 4 = (a — 2)(a + 2)\).

Итоговое разложение:

\((a — 1)(a — 2)(a + 2)(a^2 + 4)\).

2) Представим в виде произведения четырёх множителей выражение \(a^{2n}b^{2n} — b^{2n} — a^{2n} + 1\).

Сгруппируем слагаемые:

\(a^{2n}b^{2n} — b^{2n} — a^{2n} + 1 = (a^{2n}b^{2n} — b^{2n}) — (a^{2n} — 1)\).

Вынесем общий множитель в первой группе:

\(a^{2n}b^{2n} — b^{2n} = b^{2n}(a^{2n} — 1)\).

Подставим:

\(b^{2n}(a^{2n} — 1) — (a^{2n} — 1)\).

Вынесем общий множитель \((a^{2n} — 1)\):

\((a^{2n} — 1)(b^{2n} — 1)\).

Разложим каждую разность квадратов:

\(a^{2n} — 1 = (a^n — 1)(a^n + 1)\),

\(b^{2n} — 1 = (b^n — 1)(b^n + 1)\).

Итоговое разложение:

\((a^n — 1)(a^n + 1)(b^n — 1)(b^n + 1)\).