ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1199 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что значение выражения \(17^{10} — 3 \cdot 7^{24} + 3 \cdot 7^{25} + 17^9\) делится нацело: 1) на 18; 2) на 36.

\(17^{10} — 3 \cdot 7^{24} + 3 \cdot 7^{25} + 17^9 = (17^{10} + 17^9) — (3 \cdot 7^{24} — 3 \cdot 7^{25}) =\)

\(= 17^9 \cdot (17 + 1) — 3 \cdot 7^{24} \cdot (1 — 7) = 17^9 \cdot 18 — 3 \cdot 7^{24} \cdot (-6) =\)

\(= 17^9 \cdot 18 + 18 \cdot 7^{24} = 18 \cdot (17^9 + 7^{24})\)

1) Поскольку один из множителей делится на 18, то и всё выражение делится на 18.

2) Во втором множителе \(17^9 + 7^{24}\) каждое слагаемое — нечётное число, и при возведении 7 в степень 7 \(\cdot\) 7 = …9 оканчивается на цифру 9.
Сумма двух нечётных чисел даёт чётное число, следовательно, из суммы можно вынести множитель 2, после чего в скобках будет 36.
Таким образом, 36 делится на 36, значит и всё выражение делится на 36.

Докажем, что выражение \(17^{10} — 3 \cdot 7^{24} + 3 \cdot 7^{25} + 17^9\) делится нацело на 18 и на 36.

1) Делимость на 18:

Сгруппируем слагаемые выражения:

\(17^{10} + 17^9 — (3 \cdot 7^{24} — 3 \cdot 7^{25})\)

Вынесем общие множители в каждой группе:

\(17^{10} + 17^9 = 17^9 \cdot (17 + 1) = 17^9 \cdot 18\)

\(- (3 \cdot 7^{24} — 3 \cdot 7^{25}) = — 3 \cdot 7^{24} \cdot (1 — 7) = — 3 \cdot 7^{24} \cdot (-6) = 18 \cdot 7^{24}\)

Таким образом, выражение переписывается как:

\(17^9 \cdot 18 + 18 \cdot 7^{24} = 18 \cdot (17^9 + 7^{24})\)

Поскольку 18 вынесено за скобку, все выражение делится на 18.

2) Делимость на 36:

Рассмотрим второй множитель в скобках: \(17^9 + 7^{24}\)

Оба слагаемых нечётные числа, так как 17 и 7 нечётные. Сумма двух нечётных чисел равна чётному числу.

Следовательно, из суммы \(17^9 + 7^{24}\) можно вынести множитель 2:

\(17^9 + 7^{24} = 2 \cdot \frac{17^9 + 7^{24}}{2}\)

Подставим обратно в выражение:

\(18 \cdot (17^9 + 7^{24}) = 18 \cdot 2 \cdot \frac{17^9 + 7^{24}}{2} = 36 \cdot \frac{17^9 + 7^{24}}{2}\)

Поскольку \(\frac{17^9 + 7^{24}}{2}\) — целое число, получаем, что выражение делится на 36.