ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1200 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что разность куба натурального числа и самого этого числа делится нацело на 6.

Пусть будет число \(n\).

\(n^3 — n = n(n^2 — 1) = n(n + 1)(n — 1)\), так как получилось произведение трех последовательных чисел, то одно из них делится на 2, а другое на 3, следовательно, их произведение делится на 6.

Докажем, что разность куба натурального числа и самого этого числа делится на 6.

Пусть \(n\) — натуральное число. Рассмотрим выражение \(n^3 — n\).

1. Вынесем \(n\) за скобку:

\(n^3 — n = n(n^2 — 1)\)

2. Заметим, что \(n^2 — 1\) — это разность квадратов:

\(n^2 — 1 = (n + 1)(n — 1)\)

Следовательно, получаем факторизацию:

\(n^3 — n = n(n + 1)(n — 1)\)

Теперь у нас произведение трех последовательных натуральных чисел: \((n — 1), n, (n + 1)\).

3. Рассмотрим делимость на 2:

Среди трех последовательных чисел обязательно есть хотя бы одно четное число, так как четные числа чередуются с нечетными. Следовательно, произведение \(n(n + 1)(n — 1)\) делится на 2.

4. Рассмотрим делимость на 3:

Среди трех последовательных чисел обязательно есть число, которое делится на 3. Действительно, натуральные числа по модулю 3 образуют остатки 0, 1, 2. Следовательно, одно из чисел \(n — 1, n, n + 1\) даёт остаток 0 при делении на 3, а значит делится на 3.

5. Так как произведение делится на 2 и на 3 одновременно, оно делится на их наименьшее общее кратное, то есть на 6.

Итак, мы получили, что для любого натурального числа \(n\):

\(n^3 — n = n(n + 1)(n — 1)\) делится на 6.

Ответ: разность куба натурального числа и самого этого числа делится на 6.