ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1201 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что сумма произведения трёх последовательных натуральных чисел и среднего из этих чисел равна кубу среднего числа.

Пусть даны три последовательных натуральных числа:

\(n; \ n + 1; \ n + 2\).

Докажем, что:

\(n(n + 1)(n + 2) + (n + 1) = (n + 1)^3\)

\(n(n^2 + 2n + n + 2) + n + 1 = (n + 1)(n + 1)^2\)

\(n(n^2 + 3n + 2) + n + 1 = (n + 1)(n^2 + 2n + 1)\)

\(n^3 + 3n^2 + 2n + n + 1 = n^3 + 2n^2 + n + n^2 + 2n + 1\)

\(n^3 + 3n^2 + 3n + 1 = n^3 + 3n^2 + 3n + 1 \rightarrow\) что и требовалось доказать.

Докажем, что сумма произведения трёх последовательных натуральных чисел и среднего из этих чисел равна кубу среднего числа.

Пусть три последовательных натуральных числа — это \(n, n + 1, n + 2\). Среднее число из них — \(n + 1\).

1. Рассмотрим произведение трёх чисел:

\(n \cdot (n + 1) \cdot (n + 2)\)

2. Добавим к этому произведению среднее число \(n + 1\):

\(n(n + 1)(n + 2) + (n + 1)\)

3. Вынесем \((n + 1)\) за скобку, так как оно входит в оба слагаемых:

\(n(n + 2)(n + 1) + 1 \cdot (n + 1) = (n + 1)(n(n + 2) + 1)\)

4. Раскроем скобки внутри второй скобки:

\(n(n + 2) + 1 = n^2 + 2n + 1\)

5. Подставим это в выражение:

\((n + 1)(n^2 + 2n + 1)\)

6. Заметим, что \(n^2 + 2n + 1\) — это квадрат двучлена \(n + 1\), так как:

\((n + 1)^2 = n^2 + 2n + 1\)

7. Следовательно, выражение превращается в:

\((n + 1) \cdot (n + 1)^2\)

8. По свойству степеней получаем:

\((n + 1)^3\)

9. Итак, мы получили, что:

\(n(n + 1)(n + 2) + (n + 1) = (n + 1)^3\)

10. Это и требовалось доказать: сумма произведения трёх последовательных чисел и среднего числа равна кубу среднего числа.