ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1202 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Пусть х + у = а, ху = b. Докажите, что:

1) \(x^2 + y^2 = a^2 — 2b\)

2) \(x^3 + y^3 = a^3 — 3ab\)

3) \(x^4 + y^4 = a^4 — 4a^2b + 2b^2\)

Пусть \(x + y = a\) и \(xy = b\), тогда:

1) \(x^2 + y^2 = a^2 — 2b\)

\(x^2 + 2xy + y^2 — 2xy = a^2 — 2b\)

\((x + y)^2 — 2xy = a^2 — 2b\)

\(a^2 — 2b = a^2 — 2b \rightarrow\) верно.

2) \(x^3 + y^3 = a^3 — 3ab\)

\((x + y)(x^2 — xy + y^2) = a^3 — 3ab\)

\((x + y)(x^2 + 2xy + y^2 — 2xy — xy) = a^3 — 3ab\)

\((x + y)((x + y)^2 — 3xy) = a^3 — 3ab\)

\(a \cdot (a^2 — 3b) = a^3 — 3ab\)

\(a^3 — 3ab = a^3 — 3ab \rightarrow\) верно.

3) \(x^4 + y^4 = a^4 — 4a^2b + 2b^2\)

\(x^4 + 2x^2y^2 + y^4 — 2x^2y^2 = a^4 — 4a^2b + 2b^2\)

\((x^2 + y^2)^2 — 2x^2y^2 = a^4 — 4a^2b + 2b^2\)

\((x^2 + 2xy + y^2 — 2xy)^2 — 2(xy)^2 = a^4 — 4a^2b + 2b^2\)

\(((x + y)^2 — 2xy)^2 — 2(xy)^2 = a^4 — 4a^2b + 2b^2\)

\((a^2 — 2b)^2 — 2b^2 = a^4 — 4a^2b + 2b^2\)

\(a^4 — 4a^2b + 4b^2 — 2b^2 = a^4 — 4a^2b + 2b^2\)

\(a^4 — 4a^2b + 2b^2 = a^4 — 4a^2b + 2b^2 \rightarrow\) верно.

Пусть \(x + y = a\) и \(xy = b\). Тогда рассмотрим разные степени суммы:

1) Доказательство формулы для \(x^2 + y^2\)

Начнем с выражения:

\(x^2 + y^2\)

Добавим и сразу вычтем \(2xy\), чтобы получить полный квадрат:

\(x^2 + 2xy + y^2 — 2xy\)

Так как \(x^2 + 2xy + y^2 = (x + y)^2\), получаем:

\((x + y)^2 — 2xy\)

Подставим \(x + y = a\) и \(xy = b\):

\(a^2 — 2b\)

Следовательно:

\(x^2 + y^2 = a^2 — 2b \rightarrow\) верно.

2) Доказательство формулы для \(x^3 + y^3\)

Начнем с известного разложения суммы кубов:

\(x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 — xy + y^2)\)

Выражение \(x^2 — xy + y^2\) можно переписать через полный квадрат:

\(x^2 — xy + y^2 = (x^2 + 2xy + y^2) — 3xy = (x + y)^2 — 3xy\)

Следовательно:

\(x^3 + y^3 = (x + y)((x + y)^2 — 3xy)\)

Подставляем \(x + y = a\) и \(xy = b\):

\(x^3 + y^3 = a(a^2 — 3b) = a^3 — 3ab\)

Таким образом:

\(x^3 + y^3 = a^3 — 3ab \rightarrow\) верно.

3) Доказательство формулы для \(x^4 + y^4\)

Начнем с выражения:

\(x^4 + y^4\)

Добавим и сразу вычтем \(2x^2y^2\), чтобы получить полный квадрат:

\(x^4 + 2x^2y^2 + y^4 — 2x^2y^2 = (x^2 + y^2)^2 — 2(xy)^2\)

Выражаем \(x^2 + y^2\) через \(a\) и \(b\):

\(x^2 + y^2 = (x + y)^2 — 2xy = a^2 — 2b\)

Тогда:

\(x^4 + y^4 = (a^2 — 2b)^2 — 2b^2\)

Раскроем скобки:

\((a^2 — 2b)^2 — 2b^2 = a^4 — 4a^2b + 4b^2 — 2b^2 = a^4 — 4a^2b + 2b^2\)

Следовательно:

\(x^4 + y^4 = a^4 — 4a^2b + 2b^2 \rightarrow\) верно.