ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1203 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что при любом натуральном значении n значение выражения n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 равно квадрату некоторого натурального числа.

\(n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = n(n + 3)(n^2 + 2n + n + 2) + 1 =\)

\(= (n^2 + 3n)(n^2 + 2n + n + 2) + 1 = (n^2 + 3n + 1 — 1)(n^2 + 3n + 1 + 1) +\)

\(+ 1 = (n^2 + 3n + 1)^2 — 1^2 + 1 = (n^2 + 3n + 1)^2\)

Докажем, что при любом натуральном значении \(n\) выражение \(n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1\) является квадратом некоторого натурального числа.

Пусть \(n\) — натуральное число. Рассмотрим выражение:

\(n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1\)

1. Разобьем на пары для удобства

Объединим числа попарно: \((n(n + 3))\) и \(((n + 1)(n + 2))\):

\(n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = n(n + 3)((n + 1)(n + 2)) + 1\)

2. Раскроем скобки внутри каждой пары

\(n(n + 3) = n^2 + 3n\)

\((n + 1)(n + 2) = n^2 + 3n + 2\)

Следовательно, выражение примет вид:

\((n^2 + 3n)(n^2 + 3n + 2) + 1\)

3. Используем метод выделения разности квадратов

Заметим, что \((n^2 + 3n)(n^2 + 3n + 2)\) можно представить как \(((n^2 + 3n + 1) — 1)((n^2 + 3n + 1) + 1)\), так как \((n^2 + 3n + 1)^2 — 1^2 = (n^2 + 3n + 1 — 1)(n^2 + 3n + 1 + 1)\).

Подставим это в выражение:

\((n^2 + 3n + 1 — 1)(n^2 + 3n + 1 + 1) + 1\)

4. Применим формулу разности квадратов

\((n^2 + 3n + 1)^2 — 1^2 + 1 = (n^2 + 3n + 1)^2 — 1 + 1\)

Сократим единицы:

\((n^2 + 3n + 1)^2\)

5. Вывод

Мы получили, что для любого натурального \(n\):

\(n(n + 1)(n + 2)(n + 3) + 1 = (n^2 + 3n + 1)^2\)

Следовательно, выражение является квадратом натурального числа \((n^2 + 3n + 1)\).