ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1204 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что при любом натуральном значении n значение выражения n(n + 2)(n + 4)(n + 6) + 16 равно квадрату некоторого натурального числа.

\(n(n + 2)(n + 4)(n + 6) + 16 = (n^2 + 6n)(n^2 + 4n + 2n + 8) + 16 =\)

\(= (n^2 + 6n + 4 — 4)(n^2 + 6n + 4 + 4) + 16 = (n^2 + 6n + 4)^2 — 4^2 + 16 =\)

\(= (n^2 + 6n + 4)^2 \rightarrow\) что и требовалось доказать.

Докажем, что при любом натуральном значении \(n\) выражение \(n(n + 2)(n + 4)(n + 6) + 16\) является квадратом некоторого натурального числа.

Пусть \(n\) — натуральное число. Рассмотрим выражение:

\(n(n + 2)(n + 4)(n + 6) + 16\)

1. Разобьем на пары для удобства

Объединим числа попарно: \((n(n + 6))\) и \(((n + 2)(n + 4))\):

\(n(n + 2)(n + 4)(n + 6) + 16 = n(n + 6)((n + 2)(n + 4)) + 16\)

2. Раскроем скобки внутри каждой пары

\(n(n + 6) = n^2 + 6n\)

\((n + 2)(n + 4) = n^2 + 6n + 8\)

Следовательно, выражение примет вид:

\((n^2 + 6n)(n^2 + 6n + 8) + 16\)

3. Используем метод выделения разности квадратов

Заметим, что \((n^2 + 6n)(n^2 + 6n + 8)\) можно представить как \(((n^2 + 6n + 4) — 4)((n^2 + 6n + 4) + 4)\), так как \((n^2 + 6n + 4)^2 — 4^2 = (n^2 + 6n + 4 — 4)(n^2 + 6n + 4 + 4)\).

Подставим это в выражение:

\((n^2 + 6n + 4 — 4)(n^2 + 6n + 4 + 4) + 16\)

4. Применим формулу разности квадратов

\((n^2 + 6n + 4)^2 — 4^2 + 16 = (n^2 + 6n + 4)^2 — 16 + 16\)

Сократим числа:

\((n^2 + 6n + 4)^2\)

5. Вывод

Мы получили, что для любого натурального \(n\):

\(n(n + 2)(n + 4)(n + 6) + 16 = (n^2 + 6n + 4)^2\)

Следовательно, выражение является квадратом натурального числа \((n^2 + 6n + 4)\).