ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1205 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что разность между квадратом натурального числа, не кратного 3, и числом 1 кратна 3.

Пусть число, не кратное 3, равно \(3n + 1\).

Докажем, что разность между квадратом натурального числа, не кратного 3, и числом 1 кратна 3:

\((3n + 1)^2 — 1 = 9n^2 + 6n + 1 — 1 = 9n^2 + 6n = 3n \cdot (3n + 2) \rightarrow\) кратна 3.

Докажем, что при любом натуральном значении \(n\), не кратном 5, выражение \(n^4 — 1\) делится на 5.

Пусть \(n\) — натуральное число, не кратное 5. Тогда его можно записать в виде:

\(n = 5k + r\), где \(k\) — целое число, а остаток \(r = 1, 2, 3, 4\).

1. Разложение выражения

Рассмотрим выражение \(n^4 — 1\). Используем формулу разности квадратов:

\(n^4 — 1 = (n^2)^2 — 1^2 = (n^2 — 1)(n^2 + 1)\)

Применим снова формулу разности квадратов к \(n^2 — 1\):

\(n^2 — 1 = (n — 1)(n + 1)\)

Следовательно:

\(n^4 — 1 = (n — 1)(n + 1)(n^2 + 1)\)

2. Проверим делимость на 5 по остатку

Так как \(n\) не кратно 5, рассмотрим остаток \(r = n \mod 5\). Возможные значения: 1, 2, 3, 4.

Случай \(r = 1\):

\(n — 1 = 5k + 1 — 1 = 5k\), делится на 5.

Случай \(r = 2\):

\(n^4 — 1 = 2^4 — 1 = 16 — 1 = 15\), делится на 5.

Случай \(r = 3\):

\(n^4 — 1 = 3^4 — 1 = 81 — 1 = 80\), делится на 5.

Случай \(r = 4\):

\(n^4 — 1 = 4^4 — 1 = 256 — 1 = 255\), делится на 5.

3. Вывод

Для всех натуральных чисел \(n\), не кратных 5, выражение \(n^4 — 1\) делится на 5.