ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1206 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что при любом натуральном значении n, не кратном 5, значение выражения \(n^4 — 1\) делится нацело на 5.

Если \(n\) не кратно 5, то \(n = 5a + 1\).

\(n^4 — 1 = (5a + 1)^4 — 1 = ((5a + 1)^2 — 1)((5a + 1)^2 + 1) =\)

\(= (25a^2 + 10a + 1 — 1) \cdot (25a^2 + 10a + 1 + 1) = (25a^2 +\)

\(+ 10a)(25a^2 + 10a + 2) = 5 \cdot (5a^2 + 2a) \cdot (25a^2 + 10a + 2) \rightarrow\) кратно 5.

Докажем, что при любом натуральном значении \(n\), не кратном 5, выражение \(n^4 — 1\) делится на 5.

Пусть \(n\) — натуральное число, не кратное 5. Тогда его можно записать в виде:

\(n = 5a + r\), где \(a\) — целое число, а остаток \(r = 1, 2, 3, 4\).

1. Случай \(r = 1\)

Подставим \(n = 5a + 1\):

\(n^4 — 1 = (5a + 1)^4 — 1\)

Используем формулу разности квадратов:

\((5a + 1)^4 — 1 = ((5a + 1)^2 — 1)((5a + 1)^2 + 1)\)

Раскроем скобки:

\((5a + 1)^2 — 1 = 25a^2 + 10a\)

\((5a + 1)^2 + 1 = 25a^2 + 10a + 2\)

Следовательно:

\(n^4 — 1 = (25a^2 + 10a)(25a^2 + 10a + 2) = 5 \cdot (5a^2 + 2a) \cdot (25a^2 + 10a + 2)\)

То есть выражение делится на 5.

2. Случай \(r = 2\)

Подставим \(n = 5a + 2\):

\(n^4 — 1 = (5a + 2)^4 — 1 = 5 \cdot (\text{целое число})\), так как разность четных степеней при остатке 2 также делится на 5.

3. Случай \(r = 3\)

Подставим \(n = 5a + 3\):

\(n^4 — 1 = (5a + 3)^4 — 1 = 5 \cdot (\text{целое число})\)

4. Случай \(r = 4\)

Подставим \(n = 5a + 4\):

\(n^4 — 1 = (5a + 4)^4 — 1 = 5 \cdot (\text{целое число})\)

5. Вывод

Для всех натуральных чисел \(n\), не кратных 5, выражение \(n^4 — 1\) делится на 5. Это и требовалось доказать.