ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1207 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Можно ли утверждать, что значение выражения n³ + 2n делится нацело на 3 при любом натуральном значении n?

Пусть \(n = 3a\).

\(n^3 + 2n = (3a)^3 + 2 \cdot 3a = 27a^3 + 6a = 3a \cdot (9a^2 + 2) \rightarrow\) делится на 3.

Пусть \(n = 3a + 1\).

\(n^3 + 2n = (3a + 1)^3 + 2 \cdot (3a + 1) = 27a^3 + 27a^2 + 9a + 1 + 6a + 2 =\)

\(= 27a^3 + 27a^2 + 15a + 3 = 3 \cdot (9a^3 + 9a^2 + 5a + 1) \rightarrow\) делится на 3.

Следовательно, можно утверждать, что при любом натуральном значении \(n\), значение выражения делится нацело на 3.

Докажем, что выражение \(n^3 + 2n\) делится на 3 при любом натуральном значении \(n\).

Пусть \(n\) — натуральное число. Рассмотрим все возможные остатки при делении на 3, так как любая целая величина может быть представлена в виде \(3a\), \(3a + 1\) или \(3a + 2\), где \(a\) — целое число.

1. Случай \(n = 3a\)

Подставим \(n = 3a\):

\(n^3 + 2n = (3a)^3 + 2 \cdot 3a = 27a^3 + 6a\)

Вынесем 3 за скобку:

\(27a^3 + 6a = 3(9a^3 + 2a)\)

Следовательно, выражение делится на 3.

2. Случай \(n = 3a + 1\)

Подставим \(n = 3a + 1\):

\(n^3 + 2n = (3a + 1)^3 + 2 \cdot (3a + 1)\)

Раскроем куб:

\((3a + 1)^3 = 27a^3 + 27a^2 + 9a + 1\)

Добавим \(2n = 2(3a + 1) = 6a + 2\)

Складываем все слагаемые:

\(27a^3 + 27a^2 + 9a + 1 + 6a + 2 = 27a^3 + 27a^2 + 15a + 3\)

Вынесем 3 за скобку:

\(27a^3 + 27a^2 + 15a + 3 = 3(9a^3 + 9a^2 + 5a + 1)\)

Следовательно, выражение делится на 3.

3. Случай \(n = 3a + 2\)

Подставим \(n = 3a + 2\):

\(n^3 + 2n = (3a + 2)^3 + 2 \cdot (3a + 2)\)

Раскроем куб:

\((3a + 2)^3 = 27a^3 + 54a^2 + 36a + 8\)

Добавим \(2n = 2(3a + 2) = 6a + 4\)

Складываем слагаемые:

\(27a^3 + 54a^2 + 36a + 8 + 6a + 4 = 27a^3 + 54a^2 + 42a + 12\)

Вынесем 3 за скобку:

\(27a^3 + 54a^2 + 42a + 12 = 3(9a^3 + 18a^2 + 14a + 4)\)

Следовательно, выражение делится на 3.

4. Вывод

Мы рассмотрели все возможные остатки числа \(n\) при делении на 3: \(0, 1, 2\). В каждом случае выражение \(n^3 + 2n\) делится на 3.

Следовательно, можно утверждать, что при любом натуральном значении \(n\) значение выражения \(n^3 + 2n\) делится нацело на 3.