ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1208 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что при любом натуральном значении n значение выражения \(n^7 — n\) кратно 42.

\(42 = 6 \cdot 7\)

\(n^7 — n = n(n^6 — 1) = n(n^3 — 1)(n^3 + 1) = n(n — 1)(n + 1)((n^2 + 1)^2 — n^2)\)

делится на 2

43, значит, делится на 6

Докажем, что \(((n^2 + 1)^2 — n^2)\) делится на 7.

Если остаток отделения на 7 равен -1, 0 или 1, то произведение первых трех скобок делится на 7, в противном случае на 7 делится разность \((n^2 + 1)^2 — n^2\).

Если остаток от деления на 7 равен 2 или -2, то остаток от деления выражения \((n^2 + 1)^2 — n^2 = (4 + 1)^2 — 4 = 21\) равен 0.

Если остаток от деления на 7 равен 3 или -3, то остаток от деления выражения \((n^2 + 1)^2 — n^2 = (9 + 1)^2 — 9 = 91\) равен 0.

Значит, любое число такого вида делится на 6 и 7, а значит, и на 42.

Доказательство того, что \(n^7 — n\) делится на 42 при любом натуральном \(n\)

Нам нужно показать, что для любого натурального числа \(n\) выражение

\(n^7 — n\)

делится на 42. Поскольку \(42 = 6 \cdot 7\), достаточно доказать, что \(n^7 — n\) делится на 6 и на 7 одновременно.

1. Делимость на 2

Выражение можно разложить так:

\(n^7 — n = n(n^6 — 1) = n(n^3 — 1)(n^3 + 1) =\)

\(= n(n — 1)(n^2 + n + 1)(n + 1)(n^2 — n + 1)\)

Любое натуральное число \(n\) четное или нечетное. Рассмотрим оба случая:

• Если \(n\) четное, то \(n\) делится на 2, следовательно, \(n^7 — n\) делится на 2.
• Если \(n\) нечетное, то \(n — 1\) и \(n + 1\) оба четные. Среди них хотя бы одно делится на 2, следовательно, \(n^7 — n\) делится на 2.

Таким образом, \(n^7 — n\) делится на 2.

2. Делимость на 3

Любое число \(n\) при делении на 3 имеет остаток 0, 1 или 2.

• Если \(n \equiv 0 \, (mod \, 3)\), то \(n^7 — n \equiv 0^7 — 0 = 0 \, (mod \, 3)\).
• Если \(n \equiv 1 \, (mod \, 3)\), то \(n^7 — n \equiv 1^7 — 1 = 0 \, (mod \, 3)\).
• Если \(n \equiv 2 \, (mod \, 3)\), то \(n^7 — n \equiv 2^7 — 2 = 128 — 2 = 126 \equiv 0 \, (mod \, 3)\).

Следовательно, \(n^7 — n\) делится на 3.

3. Следствие для делимости на 6

Поскольку \(n^7 — n\) делится на 2 и на 3 одновременно, оно делится на их произведение:

\(2 \cdot 3 = 6\)

То есть, \(n^7 — n\) делится на 6.

4. Делимость на 7

Нам нужно доказать, что \(n^7 — n\) делится на 7. Для этого рассмотрим теорему Ферма: для любого числа \(n\) и простого числа 7 выполняется

\(n^7 \equiv n \, (mod \, 7)\)

Следовательно,

\(n^7 — n \equiv 0 \, (mod \, 7)\)

Таким образом, \(n^7 — n\) делится на 7 для любого натурального \(n\).

5. Заключение

Мы доказали, что \(n^7 — n\) делится на 6 и на 7 одновременно. Поскольку 6 и 7 взаимно просты, имеем:

\(n^7 — n \text{ делится на } 6 \cdot 7 = 42\)

Следовательно, для любого натурального \(n\) выполняется

\(42 \mid (n^7 — n)\)