ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1214 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Является ли линейной функция:

1) \(f(x) = (x — 1)(x + 1) — x(x — 3)\)

2) \(f(x) = (2x — 3)^2 — (x + 4)(x — 2)\)

3) \(f(x) = (x + 3)^2 — x(x + 6)\)?

y = kx + b — линейная функция.

1) \(f(x) = (x — 1)(x + 1) — x(x — 3) = x^2 — 1 — x^2 + 3x = 3x — 1\) — линейная функция.

2) \(f(x) = (2x — 3)^2 — (x + 4)(x — 2) = 4x^2 — 12x + 9 — x^2 + 2x — \)

\(- 4x + 8 = 3x^2 — 14x + 17\) — не является линейной функцией.

3) \(f(x) = (x + 3)^2 — x(x + 6) = x^2 + 6x + 9 — x^2 — 6x = 9\) — линейная функция.

Линейная функция имеет вид \(y = kx + b\), где \(k\) и \(b\) — константы. Любая функция, которую можно привести к такому виду, является линейной. Проверим каждую функцию.

1) \(f(x) = (x — 1)(x + 1) — x(x — 3)\)

Раскроем скобки по формуле \((a-b)(a+b) = a^2 — b^2\) и по распределительному закону:

\((x — 1)(x + 1) = x^2 — 1\)

\(x(x — 3) = x^2 — 3x\)

Подставим обратно в функцию:

\(f(x) = (x^2 — 1) — (x^2 — 3x) = x^2 — 1 — x^2 + 3x\)

Приведём подобные слагаемые:

\(x^2 — x^2 = 0\)

\(-1 + 0 = -1\)

\(0 + 3x = 3x\)

Итог:

\(f(x) = 3x — 1\)

Это выражение имеет вид \(kx + b\), где \(k = 3\), \(b = -1\). Следовательно, функция линейная.

2) \(f(x) = (2x — 3)^2 — (x + 4)(x — 2)\)

Раскроем скобки по формуле \((a-b)^2 = a^2 — 2ab + b^2\) и распределительному закону:

\((2x — 3)^2 = 4x^2 — 12x + 9\)

\((x + 4)(x — 2) = x^2 — 2x + 4x — 8 = x^2 + 2x — 8\)

Подставим обратно:

\(f(x) = (4x^2 — 12x + 9) — (x^2 + 2x — 8) = 4x^2 — 12x + 9 — x^2 — 2x + 8\)

Приведём подобные слагаемые:

\(4x^2 — x^2 = 3x^2\)

\(-12x — 2x = -14x\)

\(9 + 8 = 17\)

Итог:

\(f(x) = 3x^2 — 14x + 17\)

Поскольку есть член с \(x^2\), функция не имеет вид \(kx + b\), следовательно, функция не линейная.

3) \(f(x) = (x + 3)^2 — x(x + 6)\)

Раскроем скобки:

\((x + 3)^2 = x^2 + 6x + 9\)

\(x(x + 6) = x^2 + 6x\)

Подставим обратно:

\(f(x) = (x^2 + 6x + 9) — (x^2 + 6x) = x^2 + 6x + 9 — x^2 — 6x\)

Приведём подобные слагаемые:

\(x^2 — x^2 = 0\)

\(6x — 6x = 0\)

Осталось:

\(f(x) = 9\)

Это константа, которую можно записать как \(0 \cdot x + 9\). Следовательно, функция линейная (частный случай, где \(k = 0\)).