ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1222 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Решите систему уравнений:

1) \(\begin{cases} 3x + 7y = 1 &  \\ 6y — 5x = 16 &  \end{cases}\)

2) \(\begin{cases} 3x — 5y = 19 &  \\ 2x + 3y = 0 &  \end{cases}\)

3) \(\begin{cases} 3(2a — 1) + 6(7 — b) = 51 \\ 2(a + 6) — 7(1 + 6b) = 49 \end{cases}\)

4) \(\begin{cases} \frac{3x — 2y}{4} — \frac{4x + 5}{3} = -5 &  \\ \frac{6x — 5y}{2} + \frac{2x + y}{5} = 9 &  \end{cases}\)

1) \(\begin{cases} 3x + 7y = 1 & | \cdot 5 \\ 6y — 5x = 16 & | \cdot 3 \end{cases} \quad \begin{cases} 15x + 35y = 5 \\ 18y — 15x = 48 \end{cases} + \quad \begin{cases} 53y = 53 \\ 3x + 7y = 1 \end{cases}\)

\(\begin{cases} y = 1 \\ 3x = 1 — 7y \end{cases} \quad \begin{cases} y = 1 \\ 3x = -6 \end{cases} \quad \begin{cases} y = 1 \\ x = -2 \end{cases}\)

Ответ: \((-2; 1)\)

2) \(\begin{cases} 3x — 5y = 19 & | \cdot 2 \\ 2x + 3y = 0 & | \cdot 3 \end{cases} \quad \begin{cases} 6x — 10y = 38 \\ 6x + 9y = 0 \end{cases} -\)

\(\begin{cases} -19y = 38 \\ 2x + 3y = 0 \end{cases} \quad \begin{cases} y = -2 \\ 2x = -3y \end{cases} \quad \begin{cases} y = -2 \\ 2x = 6 \end{cases} \quad \begin{cases} x = 3 \\ y = -2 \end{cases}\)

Ответ: \((3; -2)\)

3) \(\begin{cases} 3(2a — 1) + 6(7 — b) = 51 \\ 2(a + 6) — 7(1 + 6b) = 49 \end{cases} \quad \begin{cases} 6a — 3 + 42 — 6b = 51 \\ 2a + 12 — 7 — 42b = 49 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 6a — 6b = 51 — 39 \\ 2a — 42b = 49 — 5 \end{cases} \quad \begin{cases} 6a — 6b = 12 \\ 2a — 42b = 44 \end{cases} \quad \begin{cases} a — b = 2 \\ a — 21b = 22 \end{cases} -\)

\(\begin{cases} 20b = -20 \\ a — b = 2 \end{cases} \quad \begin{cases} b = -1 \\ a = 2 + b \end{cases} \quad \begin{cases} b = -1 \\ a = 1 \end{cases}\)

Ответ: \((1; -1)\)

4) \(\begin{cases} \frac{3x — 2y}{4} — \frac{4x + 5}{3} = -5 & | \cdot 12 \\ \frac{6x — 5y}{2} + \frac{2x + y}{5} = 9 & | \cdot 10 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 3(3x — 2y) — 4(4x + 5) = -60 \\ 5(6x — 5y) + 2(2x + y) = 90 \end{cases} \quad \begin{cases} 9x — 6y — 16x — 20 = -60 \\ 30x — 25y + 4x + 2y = 90 \end{cases}\)

\(\begin{cases} -7x — 6y = -40 \\ 34x — 23y = 90 \end{cases} | \cdot 23 \quad \begin{cases} -161x — 138y = -920 \\ 204x — 138y = 540 \end{cases} -\)

\(\begin{cases} -365x = -1460 \\ -7x — 6y = -40 \end{cases} \quad \begin{cases} x = 4 \\ 6y = 40 — 7x \end{cases} \quad \begin{cases} x = 4 \\ 6y = 12 \end{cases} \quad \begin{cases} x = 4 \\ y = 2 \end{cases}\)

Ответ: \((4; 2)\)

1) Исходная система:

\(\begin{cases} 3x + 7y = 1 & | \cdot 5 \\ 6y — 5x = 16 & | \cdot 3 \end{cases}\)

Умножаем каждое уравнение на указанный множитель:

\(\begin{cases} 3x \cdot 5 + 7y \cdot 5 = 1 \cdot 5 \\ (6y — 5x) \cdot 3 = 16 \cdot 3 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 15x + 35y = 5 \\ -15x + 18y = 48 \end{cases}\)

Складываем уравнения для исключения \(x\):

\((15x — 15x) + (35y + 18y) = 5 + 48 \Rightarrow 53y = 53\)

Подставляем найденное \(y = 1\) в первое уравнение \(3x + 7y = 1\):

\(3x + 7 \cdot 1 = 1 \Rightarrow 3x + 7 = 1 \Rightarrow 3x = 1 — 7 \Rightarrow 3x = -6 \Rightarrow x = -2\)

Ответ: \((-2; 1)\)

2) Исходная система:

\(\begin{cases} 3x — 5y = 19 & | \cdot 2 \\ 2x + 3y = 0 & | \cdot 3 \end{cases}\)

Умножаем на множители:

\(\begin{cases} 6x — 10y = 38 \\ 6x + 9y = 0 \end{cases}\)

Вычитаем второе уравнение из первого для исключения \(x\):

\((6x — 6x) + (-10y — 9y) = 38 — 0 \Rightarrow -19y = 38 \Rightarrow y = -2\)

Подставляем \(y = -2\) во второе уравнение \(2x + 3y = 0\):

\(2x + 3 \cdot (-2) = 0 \Rightarrow 2x — 6 = 0 \Rightarrow 2x = 6 \Rightarrow x = 3\)

Ответ: \((3; -2)\)

3) Исходная система:

\(\begin{cases} 3(2a — 1) + 6(7 — b) = 51 \\ 2(a + 6) — 7(1 + 6b) = 49 \end{cases}\)

Раскроем скобки:

\(\begin{cases} 6a — 3 + 42 — 6b = 51 \\ 2a + 12 — 7 — 42b = 49 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 6a — 6b + 39 = 51 \\ 2a — 42b + 5 = 49 \end{cases}\)

Переносим свободные члены в правую часть:

\(\begin{cases} 6a — 6b = 51 — 39 \Rightarrow 6a — 6b = 12 \\ 2a — 42b = 49 — 5 \Rightarrow 2a — 42b = 44 \end{cases}\)

Делим первое уравнение на 6 для упрощения:

\(a — b = 2\)

Второе уравнение делим на 2:

\(a — 21b = 22\)

Вычитаем первое уравнение из второго для нахождения \(b\):

\((a — 21b) — (a — b) = 22 — 2 \Rightarrow -20b = 20 \Rightarrow b = -1\)

Подставляем \(b = -1\) в \(a — b = 2\):

\(a — (-1) = 2 \Rightarrow a + 1 = 2 \Rightarrow a = 1\)

Ответ: \((1; -1)\)

4) Исходная система:

\(\begin{cases} \frac{3x — 2y}{4} — \frac{4x + 5}{3} = -5 & | \cdot 12 \\ \frac{6x — 5y}{2} + \frac{2x + y}{5} = 9 & | \cdot 10 \end{cases}\)

Умножаем каждое уравнение на общий множитель, чтобы избавиться от дробей:

\(\begin{cases} 12 \cdot \frac{3x — 2y}{4} — 12 \cdot \frac{4x + 5}{3} = -5 \cdot 12 \\ 10 \cdot \frac{6x — 5y}{2} + 10 \cdot \frac{2x + y}{5} = 9 \cdot 10 \end{cases} \Rightarrow \begin{cases} 9x — 6y — 16x — 20 = -60 \\ 30x — 25y + 4x + 2y = 90 \end{cases}\)

Приводим подобные члены:

\(\begin{cases} -7x — 6y — 20 = -60 \Rightarrow -7x — 6y = -40 \\ 34x — 23y = 90 \end{cases}\)

Исключаем \(y\), умножив первое уравнение на 23, второе на 6:

\(\begin{cases} -161x — 138y = -920 \\ 204x — 138y = 540 \end{cases}\)

Вычитаем первое уравнение из второго:

\(204x — 138y — (-161x — 138y) = 540 — (-920) \Rightarrow 204x + 161x =\)

\(= 1460 \Rightarrow 365x = 1460 \Rightarrow x = 4\)

Подставляем \(x = 4\) в первое уравнение \(-7x — 6y = -40\):

\(-7 \cdot 4 — 6y = -40 \Rightarrow -28 — 6y = -40 \Rightarrow -6y = -12 \Rightarrow y = 2\)

Ответ: \((4; 2)\)