ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1223 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

При каком значении а сумма х + у принимает наименьшее значение, если:

\(\begin{cases} 2x + 3y = 2a^2 — 12a + 8 \\ 3x — 2y = 3a^2 + 8a + 12 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 2x + 3y = 2a^2 — 12a + 8 & | \cdot 3 \\ 3x — 2y = 3a^2 + 8a + 12 & | \cdot 2 \end{cases}\) \(\quad\) \(\begin{cases} 6x + 9y = 6a^2 — 36a + 24 \\ 6x — 4y = 6a^2 + 16a + 24 \end{cases}\) —

\(\begin{cases} 13y = -52a \\ 6x — 4y = 6a^2 + 16a + 24 \end{cases}\) \(\quad\) \(\begin{cases} y = -4a \\ 6x — 4 \cdot (-4a) = 6a^2 + 16a + 24 \end{cases}\)

\(6x + 16a = 6a^2 + 16a + 24\)

\(6x = 6a^2 + 24 \quad | : 6\)

\(x = a^2 + 4\).

Значит, при \(x + y\):

\(x + y = a^2 + 4 — 4a = a^2 — 4a + 4 = (a — 2)^2 \ge 0\).

Следовательно, наименьшее значение будет при:

\((a — 2)^2 = 0\)

\(a — 2 = 0\)

\(a = 2\).

Ответ: при \(a = 2\).

Найти значение \(a\), при котором сумма \(x + y\) принимает наименьшее значение.

Дано система уравнений:

\(\begin{cases} 2x + 3y = 2a^2 — 12a + 8 \\ 3x — 2y = 3a^2 + 8a + 12 \end{cases}\)

Шаг 1. Преобразуем систему методом приведения к одинаковым коэффициентам при \(x\).

Умножаем первое уравнение на 3, второе на 2, чтобы коэффициенты при \(x\) стали одинаковыми:

\(\begin{cases} (2x + 3y) \cdot 3 = (2a^2 — 12a + 8) \cdot 3 \\ (3x — 2y) \cdot 2 = (3a^2 + 8a + 12) \cdot 2 \end{cases}\)

Получаем:

\(\begin{cases} 6x + 9y = 6a^2 — 36a + 24 \\ 6x — 4y = 6a^2 + 16a + 24 \end{cases}\)

Шаг 2. Вычитаем второе уравнение из первого, чтобы исключить \(x\).

\((6x + 9y) — (6x — 4y) = (6a^2 — 36a + 24) — (6a^2 + 16a + 24)\)

\(6x — 6x + 9y + 4y = 6a^2 — 36a + 24 — 6a^2 — 16a — 24\)

\(13y = -52a\)

Делим обе стороны на 13:

\(y = \frac{-52a}{13} = -4a\)

Шаг 3. Подставляем значение \(y = -4a\) в одно из исходных уравнений, например, во второе:

\(3x — 2y = 3a^2 + 8a + 12\)

\(3x — 2 \cdot (-4a) = 3a^2 + 8a + 12\)

\(3x + 8a = 3a^2 + 8a + 12\)

Вычитаем \(8a\) с обеих сторон:

\(3x = 3a^2 + 12\)

Делим на 3:

\(x = a^2 + 4\)

Шаг 4. Выражаем сумму \(x + y\):

\(x + y = (a^2 + 4) + (-4a) = a^2 — 4a + 4\)

Замечаем, что \(a^2 — 4a + 4\) можно разложить как полный квадрат:

\(x + y = (a — 2)^2\)

Шаг 5. Находим наименьшее значение суммы \(x + y\).

Так как \((a — 2)^2 \ge 0\) для любого действительного \(a\), наименьшее значение суммы достигается при:

\((a — 2)^2 = 0\)

Следовательно:

\(a — 2 = 0\)

\(a = 2\)

Шаг 6. Вывод:

Наименьшее значение суммы \(x + y\) достигается при \(a = 2\). Тогда сумма:

\(x + y = (2 — 2)^2 = 0\)

Ответ: при \(a = 2\).