ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1224 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

При каком значении а разность х — у принимает наименьшее значение, если:

\(\begin{cases} x — 5y = a^2 + 10a + 1 \\ 4x + y = 4a^2 — 2a + 4 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x — 5y = a^2 + 10a + 1 \\ 4x + y = 4a^2 — 2a + 4 \end{cases} \mid \cdot 5\)

\(\begin{cases} 21x = 21a^2 + 21 \mid : 21 \\ x — 5y = a^2 + 10a + 1 \end{cases}\)

\(a^2 + 1 — 5y = a^2 + 10a + 1\)

\(5y = -10a\)

\(y = -2a\).

Значит, при \(x — y\):

\(x — y = a^2 + 1 + 2a = a^2 + 2a + 1 = (a + 1)^2 \ge 0\).

Следовательно, наименьшее значение будет при:

\((a + 1)^2 = 0\)

\(a + 1 = 0\)

\(a = -1\).

Ответ: при \(a = -1\).

Дана система уравнений:

\(\begin{cases} x — 5y = a^2 + 10a + 1 \\ 4x + y = 4a^2 — 2a + 4 \end{cases}\)

Шаг 1. Преобразуем систему для удобства решения.

Умножим второе уравнение на 5, чтобы коэффициенты при \(y\) стали противоположными первым:

\(\begin{cases} x — 5y = a^2 + 10a + 1 \\ (4x + y) \cdot 5 = (4a^2 — 2a + 4) \cdot 5 \end{cases}\)

Получаем:

\(\begin{cases} x — 5y = a^2 + 10a + 1 \\ 20x + 5y = 20a^2 — 10a + 20 \end{cases}\)

Шаг 2. Складываем два уравнения для исключения \(y\).

\((x — 5y) + (20x + 5y) = (a^2 + 10a + 1) + (20a^2 — 10a + 20)\)

\(21x = 21a^2 + 21\)

Делим обе стороны на 21:

\(x = a^2 + 1\)

Шаг 3. Находим \(y\) через подстановку в первое уравнение.

\(x — 5y = a^2 + 10a + 1\)

Подставляем \(x = a^2 + 1\):

\((a^2 + 1) — 5y = a^2 + 10a + 1\)

Вычитаем \(a^2 + 1\) с обеих сторон:

\(-5y = 10a\)

Делим обе стороны на -5:

\(y = -2a\)

Шаг 4. Выражаем разность \(x — y\).

\(x — y = (a^2 + 1) — (-2a) = a^2 + 1 + 2a\)

Приводим к виду полного квадрата:

\(x — y = a^2 + 2a + 1 = (a + 1)^2\)

Шаг 5. Находим наименьшее значение разности \(x — y\).

Так как \((a + 1)^2 \ge 0\) для любого действительного \(a\), минимальное значение достигается при:

\((a + 1)^2 = 0\)

Следовательно:

\(a + 1 = 0\)

\(a = -1\)

Шаг 6. Вывод:

Разность \(x — y\) принимает наименьшее значение при \(a = -1\). Тогда:

\(x — y = ( -1 + 1)^2 = 0\)

Ответ: при \(a = -1\).