ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 1225 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

По окружности, длина которой равна 100 м, движутся два тела. Они встречаются каждые 20 с, двигаясь в одном направлении. Если бы они двигались в противоположных направлениях, то встречались бы каждые 4 с. С какой скоростью они движутся?

Пусть скорость первого тела \(x\) м/с, а скорость второго тела \(y\) м/с.

Так как тела движутся в одном направлении, то скорость первого тела больше скорости второго тела, значит, чтобы им встретиться необходимо пройти \(20 \cdot (x — y) = 100\). Если тела движутся в противоположных направлениях, то, чтобы им встретиться необходимо пройти \(4 \cdot (x + y) = 100\).

Составим систему уравнений:

\(\begin{cases} 20(x — y) = 100 \\ 4(x + y) = 100 \end{cases}\)

\(\begin{cases} 20x — 20y = 100 \mid : 20 \\ 4x + 4y = 100 \mid : 4 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x — y = 5 \\ x + y = 25 \end{cases} +\)

\(\begin{cases} 2x = 30 \\ x — y = 5 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x = 15 \\ y = 15 — 5 \end{cases}\)

\(\begin{cases} x = 15 \\ y = 10 \end{cases}\)

Ответ: \(15\) м/с скорость первого тела и \(10\) м/с скорость второго тела.

По окружности длиной \(100\) м движутся два тела. Требуется найти их скорости.

Шаг 1. Введение обозначений.

Пусть скорость первого тела равна \(x\) м/с, а скорость второго тела равна \(y\) м/с.

Шаг 2. Рассмотрим движение тел в одном направлении.

Если тела движутся в одном направлении, то они встречаются каждые \(20\) с.

За время между встречами более быстрое тело догоняет более медленное, проходя расстояние, равное длине окружности.

Относительная скорость сближения в этом случае равна \(x — y\).

За \(20\) с тела проходят расстояние:

\(20 \cdot (x — y)\)

Это расстояние равно длине окружности:

\(20(x — y) = 100\)

Шаг 3. Рассмотрим движение тел в противоположных направлениях.

Если тела движутся в противоположных направлениях, то они встречаются каждые \(4\) с.

В этом случае относительная скорость сближения равна сумме скоростей:

\(x + y\)

За \(4\) с тела проходят расстояние:

\(4(x + y)\)

Это расстояние также равно длине окружности:

\(4(x + y) = 100\)

Шаг 4. Составим систему уравнений.

\(\begin{cases} 20(x — y) = 100 \\ 4(x + y) = 100 \end{cases}\)

Шаг 5. Упростим систему уравнений.

Разделим первое уравнение на \(20\):

\(x — y = \frac{100}{20} = 5\)

Разделим второе уравнение на \(4\):

\(x + y = \frac{100}{4} = 25\)

Получаем систему:

\(\begin{cases} x — y = 5 \\ x + y = 25 \end{cases}\)

Шаг 6. Решим систему уравнений.

Сложим уравнения системы:

\((x — y) + (x + y) = 5 + 25\)

\(2x = 30\)

Разделим обе части на \(2\):

\(x = 15\)

Шаг 7. Найдём скорость второго тела.

Подставим \(x = 15\) в уравнение \(x — y = 5\):

\(15 — y = 5\)

\(y = 15 — 5 = 10\)

Шаг 8. Ответ.

Скорость первого тела равна \(15\) м/с, скорость второго тела равна \(10\) м/с.