ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 190 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что не имеет отрицательных корней уравнение:
1) x4 — 5х3 + 6х2 — 7х + 5 = 0;
2) х8 + х4 + 1 = х7 + х3 + х.

1) x⁴ — 5x³ + 6x² — 7x + 5 = 0

при x < 0:

x⁴ > 0, -5x³ > 0, 6x² > 0, -7x > 0, значит, уравнение будет

больше нуля, следовательно, уравнение не имеет отрицательных корней.

2) x⁸ + x⁴ + 1 = x⁷ + x³ + x

x⁸ + x⁴ — x⁷ — x³ — x = -1

при x < 0 левая часть уравнения будет больше нуля, значит, левая часть

не может быть равна -1, следовательно, уравнение не имеет отрицательных корней.

Шаг 1: Рассматриваем уравнение \( x^4 — 5x^3 + 6x^2 — 7x + 5 = 0 \):

Решение: При \( x < 0 \), давайте проанализируем каждый компонент уравнения:

1. \( x^4 > 0 \), так как четная степень любого числа всегда положительна.

2. \( -5x^3 > 0 \), так как при \( x < 0 \), куб отрицательного числа будет отрицательным, и умножение на -5 сделает его положительным.

3. \( 6x^2 > 0 \), так как квадрат любого числа всегда положителен.

4. \( -7x > 0 \), так как при \( x < 0 \), произведение -7 и отрицательного числа даст положительный результат.

Следовательно, левая часть уравнения при \( x < 0 \) всегда будет больше нуля, так как сумма всех положительных чисел даёт положительный результат. Это означает, что уравнение не имеет отрицательных корней.

Ответ: Уравнение \( x^4 — 5x^3 + 6x^2 — 7x + 5 = 0 \) не имеет отрицательных корней, так как при \( x < 0 \) выражение всегда больше нуля.

Шаг 2: Рассматриваем уравнение \( x^8 + x^4 + 1 = x^7 + x^3 + x \):

Решение: Перепишем уравнение в виде:

\( x^8 + x^4 — x^7 — x^3 — x = -1 \).

Теперь проанализируем выражение при \( x < 0 \):

1. \( x^8 + x^4 > 0 \), так как четные степени любого числа всегда положительны.

2. \( -x^7 — x^3 — x \), так как при \( x < 0 \), все эти члены будут отрицательными, а их сумма будет отрицательной.

Суммируя все члены, получаем, что левая часть уравнения будет положительной, так как сумма положительных чисел больше, чем сумма отрицательных. Следовательно, левая часть не может быть равна -1.

Ответ: Уравнение \( x^8 + x^4 + 1 = x^7 + x^3 + x \) не имеет отрицательных корней, так как левая часть уравнения при \( x < 0 \) всегда больше нуля.