ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 217 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

1) \[
(-a^5)^2 = a^{10};
\]

2) \[
(-a^3)^3 = -a^9;
\]

3) \[
(-a^4)^7 \cdot (-a^2)^6 = -a^{28} \cdot a^{12} = -a^{40}.
\]

1. Упростить выражение \( (-a^5)^2 \):

Шаг 1. Свойство степеней:
При возведении степени в степень используется правило:

\[
(a^m)^n = a^{m \cdot n}.
\]

Применим это правило к выражению \( (-a^5)^2 \). Здесь основание \( -a^5 \), а показатель степени \( 2 \).

Шаг 2. Учет знака:
При возведении отрицательного числа в четную степень знак становится положительным, так как:

\[
(-x)^2 = x^2.
\]

Таким образом:

\[
(-a^5)^2 = a^{5 \cdot 2} = a^{10}.
\]

Ответ для первого задания:

\[
(-a^5)^2 = a^{10}.
\]

2. Упростить выражение \( (-a^3)^3 \):

Шаг 1. Свойство степеней:
Опять используем правило:

\[
(a^m)^n = a^{m \cdot n}.
\]

Применим это правило к выражению \( (-a^3)^3 \). Здесь основание \( -a^3 \), а показатель степени \( 3 \).

Шаг 2. Учет знака:
При возведении отрицательного числа в нечетную степень знак остается отрицательным, так как:

\[
(-x)^3 = -x^3.
\]

Таким образом:

\[
(-a^3)^3 = -a^{3 \cdot 3} = -a^9.
\]

Ответ для второго задания:

\[
(-a^3)^3 = -a^9.
\]

3. Упростить выражение \( (-a^4)^7 \cdot (-a^2)^6 \):

Шаг 1. Упростим каждое основание:
Используем правило степеней:

\[
(a^m)^n = a^{m \cdot n}.
\]

Для первого множителя \( (-a^4)^7 \):

— Основание \( -a^4 \), показатель степени \( 7 \).
— Возведение отрицательного числа в нечетную степень сохраняет знак отрицательным:

\[
(-a^4)^7 = -a^{4 \cdot 7} = -a^{28}.
\]

Для второго множителя \( (-a^2)^6 \):

— Основание \( -a^2 \), показатель степени \( 6 \).
— Возведение отрицательного числа в четную степень делает знак положительным:

\[
(-a^2)^6 = a^{2 \cdot 6} = a^{12}.
\]

Шаг 2. Умножение степеней с одинаковым основанием:

Когда степени с одинаковым основанием \( a \) умножаются, показатели складываются:

\[
a^m \cdot a^n = a^{m+n}.
\]

Применим это правило:

\[
(-a^{28}) \cdot a^{12} = -a^{28+12} = -a^{40}.
\]

Ответ для третьего задания:

\[
(-a^4)^7 \cdot (-a^2)^6 = -a^{40}.
\]

Итоговые ответы:

1. \[
(-a^5)^2 = a^{10}.
\]

2. \[
(-a^3)^3 = -a^9.
\]

3. \[
(-a^4)^7 \cdot (-a^2)^6 = -a^{40}.
\]