ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 257 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

В шестизначном числе первая и четвёртая, вторая и пятая, третья и шестая цифры одинаковы. Докажите, что это число кратно числам 7, 11 и 13.

Пусть будет шестизначное число \(abcabc\).

Докажем, что число кратно числам 7, 11 и 13:

\[
abcabc = 100\,000a + 10\,000b + 1\,000c + 100a + 10b + c = \]

\[=100\,100a + 10\,010b + 1\,001c = 1\,001 \cdot (100a + 10b + c),
\]

так как число 1001 делится на 7, на 11 и на 13, то и все шестизначное число будет делиться на данные числа.

Пусть будет шестизначное число \( abcabc \).

Шаг 1: Представим это число в разложенной форме:

\( abcabc = 100,000a + 10,000b + 1,000c + 100a + 10b + c. \)

Шаг 2: Приведем подобные слагаемые:

\( abcabc = 100,100a + 10,010b + 1,001c. \)

Шаг 3: Выносим общий множитель 1,001:

\( abcabc = 1,001 \cdot (100a + 10b + c). \)

Шаг 4: Теперь заметим, что число \( 1,001 \) делится на 7, 11 и 13. Это легко проверить, так как:

\( 1,001 = 7 \times 11 \times 13 \).

Шаг 5: Поскольку число \( 1,001 \) делится на 7, 11 и 13, то и все число \( abcabc \), которое является произведением \( 1,001 \) и \( (100a + 10b + c) \), будет делиться на эти числа.

Ответ: Число \( abcabc \) делится на 7, 11 и 13.