ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 32 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Дано 12 натуральных чисел. Докажите, что из них всегда можно выбрать два, разность которых делится нацело на 11.

Так как чисел 12, то при делении на 11 возможно 11 различных остатков: от 0 до 10. Поэтому, среди данных чисел найдется хотя бы одна пара, которая дает одинаковые остатки при делении на 11. Их разность будет делиться на 11.

Утверждение: Из 12 натуральных чисел всегда можно выбрать два, разность которых делится нацело на 11.

Доказательство:

Предположим, что у нас есть 12 натуральных чисел. Нам нужно доказать, что из них всегда можно выбрать два числа, разность которых делится нацело на 11.

Для этого рассмотрим остатки этих чисел при делении на 11. Число при делении на 11 может дать один из 11 возможных остатков, которые равны:

\( 0, 1, 2, 3, \dots, 10 \)

Так как у нас 12 чисел, а всего 11 различных остатков при делении на 11, то, согласно принципу Дирихле (или принципу «птицы и гнезда»), среди 12 чисел найдется хотя бы две цифры, которые при делении на 11 дают одинаковые остатки. Обозначим эти числа как \(x\) и \(y\).

Пусть остатки при делении на 11 этих чисел равны \(r\), то есть:

\( x \equiv r \pmod{11} \) и \( y \equiv r \pmod{11} \)

Теперь, если два числа \(x\) и \(y\) дают одинаковые остатки при делении на 11, то разность их будет кратна 11:

\( x — y \equiv 0 \pmod{11} \)

Таким образом, разность \(x — y\) делится на 11.

Ответ: Из 12 натуральных чисел всегда можно выбрать два числа, разность которых делится нацело на 11.