ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 489 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что при всех натуральных значениях п значение выражения n3 + 3n2 + 2n делится нацело на 6.

\( n^3 + 3n^2 + 2n = n \cdot (n^2 + 3n + 2) = n \cdot (n^2 + n + 2n + 2) = \)

\(=n \cdot (n(n + 1) + 2(n + 1)) = n(n + 1)(n + 2) \) — получилось произведение трёх последовательных чисел, одно из которых обязательно делится на 2, а другое — на 3, значит, их произведение делится на 6.

\( n^3 + 3n^2 + 2n =\)

Начнем с разложения выражения:

\( n^3 + 3n^2 + 2n = n \cdot (n^2 + 3n + 2) \)

Далее раскроем скобки и сгруппируем выражение:

\( = n \cdot (n^2 + n + 2n + 2) \)

Теперь сгруппируем слагаемые с общими множителями:

\( = n \cdot (n(n + 1) + 2(n + 1)) \)

Теперь вынесем общий множитель \( (n + 1) \):

\( = n(n + 1)(n + 2) \)

Ответ: \( n(n + 1)(n + 2) \)

Мы видим, что результат — произведение трёх последовательных чисел \( n, (n+1), (n+2) \). Одно из этих чисел обязательно делится на 2, а другое — на 3, значит, их произведение делится на 6.