Учебник по алгебре для 7 класса, написанный известными авторами Мерзляком, Полонским и Якиром, представляет собой современное и доступное пособие, предназначенное для учащихся. Он охватывает основные темы алгебры, соответствующие требованиям образовательной программы.
Основные темы
- Числовые выражения и их свойства: Изучение операций с числами, порядок выполнения действий.
- Алгебраические выражения: Понятие переменной, сложение, вычитание, умножение и деление алгебраических выражений.
- Уравнения и неравенства: Решение линейных уравнений и неравенств, применение их в задачах.
- Функции и графики: Введение в понятие функции, построение графиков простейших функций.
- Системы уравнений: Основы решения систем линейных уравнений.
Учебник по алгебре для 7 класса Мерзляка, Полонского и Якира является незаменимым пособием для учащихся, желающих углубить свои знания в области алгебры и подготовиться к более сложным темам в дальнейшем обучении.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 540 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Разложите на множители, пользуясь формулой разности квадратов:
1) (х + 2)2 — 49;
2) (х -10)2 — 25у2;
3) 25 — (у — 3)2;
4) (а — 4)2 — (а + 2)2;
5) (m — 10)2 — (n — 6)2;
6) (8у + 4)2 — (4у — 3)2;
7) (5а + 3b)2 — (2а — 4b)2;
8) 4(а — b)2 — (а + b)2;
9) (х2 + х +1)2 — (х2 — х + 2)2;
10) (-3х3 + y)2 — 16х6.
1) \((x + 2)^2 — 49 = (x + 2)^2 — 7^2 = (x + 2 — 7)(x + 2 + 7) = (x — 5)(x + 9)\)
2) \((x — 10)^2 — 25y^2 = (x — 10 — 5y)(x — 10 + 5y)\)
3) \(25 — (y — 3)^2 = (5 — y + 3)(5 + y — 3) = (8 — y)(2 + y)\)
4) \((a — 4)^2 — (a + 2)^2 = (a — 4 — a — 2)(a — 4 + a + 2) = -6 \cdot (2a — 2) = \)
\(-6 \cdot 2(a — 1) = -12 \cdot (a — 1)\)
5) \((m — 10)^2 — (n — 6)^2 = (m — 10 — n + 6)(m — 10 + n — 6) =\)
\(=(m — n — 4)(m + n — 16)\)
6) \((8y + 4)^2 — (4y — 3)^2 = (8y + 4 — 4y + 3)(8y + 4 + 4y — 3) = (4y + 7)\)
\((12y + 1)\)
7) \((5a + 3b)^2 — (2a — 4b)^2 = (5a + 3b — 2a + 4b)(5a + 3b + 2a — 4b) = \)
\(=(3a + 7b)(7a — b)\)
8) \(4(a — b)^2 — (a + b)^2 = (2(a — b) — a — b)(2(a — b) + a + b) = \)
\(=(2a — 2b — a — b)(2a — 2b + a + b) = (a — 3b)(3a — b)\)
9) \((x^2 + x + 1)^2 — (x^2 — x + 2)^2 = (x^2 + x + 1 — x^2 + x — 2)\)
\((x^2 + x + 1 + x^2 — x + 2) = (2x — 1)(2x^2 + 3)\)
10) \((-3x^3 + y)^2 — 16x^6 = (-3x^3 + y — 4x^3)(-3x^3 + y + 4x^3) = (-7x^3)(y + x^3)\)
Решение:
1) \( (x + 2)^2 — 49 = (x + 2)^2 — 7^2 = (x + 2 — 7)(x + 2 + 7) = (x — 5)(x + 9) \)
Это выражение можно разложить с использованием формулы разности квадратов: \( a^2 — b^2 = (a — b)(a + b) \). Мы видим, что \( (x + 2)^2 — 7^2 \) принимает вид разности квадратов, где \(a = (x + 2)\) и \(b = 7\). Мы получаем разложение: \( (x — 5)(x + 9) \).
2) \( (x — 10)^2 — 25y^2 = (x — 10 — 5y)(x — 10 + 5y) \)
Это выражение также является разностью квадратов: \( (x — 10)^2 — (5y)^2 = (x — 10 — 5y)(x — 10 + 5y) \), где \(a = (x — 10)\) и \(b = 5y\). Таким образом, разложение имеет вид: \( (x — 10 — 5y)(x — 10 + 5y) \).
3) \( 25 — (y — 3)^2 = (5 — y + 3)(5 + y — 3) = (8 — y)(2 + y) \)
Это тоже разность квадратов, но мы сначала перепишем \(25\) как \(5^2\), а затем \( (y — 3)^2 \) как квадрат. Получается выражение: \(5^2 — (y — 3)^2\). Разлагаем по формуле разности квадратов: \( (5 — (y — 3))(5 + (y — 3)) \), что даёт: \( (8 — y)(2 + y) \).
4) \( (a — 4)^2 — (a + 2)^2 = (a — 4 — a — 2)(a — 4 + a + 2) =\)
\(=-6 \cdot (2a — 2) = -6 \cdot 2(a — 1) = -12 \cdot (a — 1) \)
Это разность квадратов, но вначале мы видим выражение \( (a — 4)^2 — (a + 2)^2 \). Разлагаем с использованием формулы: \( (a — 4)^2 — (a + 2)^2 = (a — 4 — (a + 2))(a — 4 + (a + 2)) \). Это даёт результат: \( -12(a — 1) \).
5) \( (m — 10)^2 — (n — 6)^2 = (m — 10 — n + 6)(m — 10 + n — 6) =\)
\(=(m — n — 4)(m + n — 16) \)
Это разность квадратов с выражениями \( (m — 10)^2 — (n — 6)^2 \). Разлагаем, используя формулу разности квадратов: \( (m — 10 — (n — 6))(m — 10 + (n — 6)) \), и получаем разложение: \( (m — n — 4)(m + n — 16) \).
6) \( (8y + 4)^2 — (4y — 3)^2 = (8y + 4 — 4y + 3)(8y + 4 + 4y — 3) =\)
\(=(4y + 7)(12y + 1) \)
Это разность квадратов, которую можно разложить по формуле разности квадратов: \( (8y + 4)^2 — (4y — 3)^2 = (8y + 4 — (4y — 3))(8y + 4 + (4y — 3)) \). Получаем разложение: \( (4y + 7)(12y + 1) \).
7) \( (5a + 3b)^2 — (2a — 4b)^2 = (5a + 3b — 2a + 4b)(5a + 3b + 2a — 4b) =\)
\(=(3a + 7b)(7a — b) \)
Это разность квадратов: \( (5a + 3b)^2 — (2a — 4b)^2 = (5a + 3b — (2a — 4b))(5a + 3b + (2a — 4b)) \), разлагаем и получаем: \( (3a + 7b)(7a — b) \).
8) \( 4(a — b)^2 — (a + b)^2 = (2(a — b) — a — b)(2(a — b) + a + b) =\)
\(=(a — 3b)(3a — b) \)
Это разность квадратов: \( 4(a — b)^2 — (a + b)^2 = (2(a — b) — (a + b))(2(a — b) + (a + b)) \). После упрощения получаем: \( (a — 3b)(3a — b) \).
9) \( (x^2 + x + 1)^2 — (x^2 — x + 2)^2 = (x^2 + x + 1 — x^2 + x — 2)\)
\((x^2 + x + 1 + x^2 — x + 2) = (2x — 1)(2x^2 + 3) \)
Это разность квадратов, разлагаем по формуле \( (x^2 + x + 1)^2 — (x^2 — x + 2)^2 = (2x — 1)(2x^2 + 3) \).
10) \( (-3x^3 + y)^2 — 16x^6 = (-3x^3 + y — 4x^3)(-3x^3 + y + 4x^3) = (-7x^3)(y + x^3) \)
Это разность квадратов: \( (-3x^3 + y)^2 — 16x^6 = \)
\(=(-7x^3)(y + x^3) \).
Алгебра
