ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 608 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Остаток при делении некоторого натурального числа на 11 равен 6. Чему равен остаток при делении на 11 квадрата этого числа?

Пусть некоторое натуральное число равно \(n = 11x + 6\).

\[
(11x + 6)^2 = 121x^2 + 132x + 36 = 121x^2 + 132x + 33 + 3 = \]

\[=11 \cdot (11x^2 + 12x + 3) + 3\]

так как первое слагаемое делится на 11 полностью, то остаток равен 3.

Пусть \(n = 11x + 6\), где \(x\) — целое число. Это выражение означает, что остаток при делении числа \(n\) на 11 равен 6, так как \(11x\) делится на 11, а 6 остается в остатке.

Шаг 1: Рассмотрим квадрат числа \(n = 11x + 6\). Для этого раскрываем квадрат по формуле \((a + b)^2 = a^2 + 2ab + b^2\), где \(a = 11x\) и \(b = 6\):

\[
(11x + 6)^2 = (11x)^2 + 2 \cdot (11x) \cdot 6 + 6^2
\]

Шаг 2: Теперь вычислим каждое слагаемое:

• \((11x)^2 = 121x^2\)
• \(2 \cdot (11x) \cdot 6 = 132x\)
• \(6^2 = 36\)

Теперь подставляем эти значения в исходное выражение:

\[
(11x + 6)^2 = 121x^2 + 132x + 36
\]

Шаг 3: Разделим выражение на два слагаемых, одно из которых делится на 11:

\[
121x^2 + 132x + 36 = 121x^2 + 132x + 33 + 3
\]

Шаг 4: Заметим, что \(121x^2 + 132x + 33\) делится на 11, так как каждый член делится на 11:

\[
121x^2 + 132x + 33 = 11 \cdot (11x^2 + 12x + 3)
\]

Шаг 5: Оставшееся слагаемое \(+3\) не делится на 11 и является остатком. Таким образом, выражение для квадрата числа \(n = 11x + 6\) можно записать как:

\[
11 \cdot (11x^2 + 12x + 3) + 3
\]

Ответ: Остаток при делении квадрата числа \(n = 11x + 6\) на 11 равен 3, так как только остаток \(3\) не делится на 11.