ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 642 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Является ли тождеством равенство:

(а-2)(а-3)(а + 3)(а + 2) + а2 = (а2 — б)2?

\[(a — 2)(a — 3)(a + 3)(a + 2) + a^2 = (a^2 — 6)^2\]

\[(a^2 — 4)(a^2 — 9) + a^2 = a^4 — 12a^2 + 36\]

\[
a^4 — 9a^2 — 4a^2 + 36 + a^2 = a^4 — 12a^2 + 36
\]

\[
a^4 — 12a^2 + 36 = a^4 — 12a^2 + 36 \, — \, \text{что и требовалось доказать.}
\]

Задача: Доказать тождество \((a — 2)(a — 3)(a + 3)(a + 2) + a^2 = (a^2 — 6)^2\).

Решение:

Начнем с раскрытия левой части выражения. Мы видим, что выражение \((a — 2)(a — 3)(a + 3)(a + 2)\) состоит из двух произведений: \((a — 2)(a + 2)\) и \((a — 3)(a + 3)\). Эти произведения являются разностями квадратов:

\[
(a — 2)(a + 2) = a^2 — 4 \quad \text{и} \quad (a — 3)(a + 3) = a^2 — 9
\]

Теперь умножим полученные выражения:

\[
(a^2 — 4)(a^2 — 9)
\]

Раскроем это произведение с использованием формулы \((x — y)(x — z) = x^2 — x(y + z) + yz\):

\[
(a^2 — 4)(a^2 — 9) = a^4 — 9a^2 — 4a^2 + 36 = a^4 — 13a^2 + 36
\]

Теперь добавим \(a^2\) к полученному выражению:

\[
a^4 — 13a^2 + 36 + a^2 = a^4 — 12a^2 + 36
\]

Таким образом, левая часть выражения \( (a — 2)(a — 3)(a + 3)(a + 2) + a^2 \) преобразуется в \( a^4 — 12a^2 + 36 \), что равно правой части выражения \((a^2 — 6)^2\), так как:

\[
(a^2 — 6)^2 = a^4 — 12a^2 + 36
\]

Ответ: Мы доказали, что:

\[
a^4 — 12a^2 + 36 = a^4 — 12a^2 + 36
\]

Заключение: Тождество выполнено. Это и требовалось доказать.