Учебник по алгебре для 7 класса, написанный известными авторами Мерзляком, Полонским и Якиром, представляет собой современное и доступное пособие, предназначенное для учащихся. Он охватывает основные темы алгебры, соответствующие требованиям образовательной программы.
Основные темы
- Числовые выражения и их свойства: Изучение операций с числами, порядок выполнения действий.
- Алгебраические выражения: Понятие переменной, сложение, вычитание, умножение и деление алгебраических выражений.
- Уравнения и неравенства: Решение линейных уравнений и неравенств, применение их в задачах.
- Функции и графики: Введение в понятие функции, построение графиков простейших функций.
- Системы уравнений: Основы решения систем линейных уравнений.
Учебник по алгебре для 7 класса Мерзляка, Полонского и Якира является незаменимым пособием для учащихся, желающих углубить свои знания в области алгебры и подготовиться к более сложным темам в дальнейшем обучении.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 647 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Может ли принимать отрицательные значения выражение:
1) х2 — 24х + 144;
2) 4х2 + 20х + 28?
1) \(x^2 — 24x + 144 = (x — 12)^2 \geq 0\) → не может принимать отрицательные значения.
2) \(4x^2 + 20x + 28 = 4x^2 + 20x + 25 + 3 = (2x + 5)^2 + 3 > 0\) → не может принимать отрицательные значения.
1) Рассмотрим выражение
\[x^2 — 24x + 144.\]
Выделим полный квадрат. Для этого используем формулу
\[(x — a)^2 = x^2 — 2ax + a^2.\]
В нашем случае коэффициенты подбираются так, чтобы
\[-2a = -24 a = 12.\]
Тогда
\[a^2 = 12^2 = 144.\]
Следовательно, выражение можно записать как
\[
x^2 — 24x + 144 = (x — 12)^2.
\]
Квадрат любого вещественного числа неотрицателен, то есть
\[
(x — 12)^2 \geq 0 \quad \text{для всех } x.
\]
Это значит, что выражение не может принимать отрицательные значения. Минимальное значение равно нулю при \(x = 12\).
2) Рассмотрим выражение
\[
4x^2 + 20x + 28.
\]
Для выделения полного квадрата выделим множитель 4 в первых двух членах:
\[
4x^2 + 20x = 4(x^2 + 5x).
\]
Теперь дополним до полного квадрата внутри скобок. Ищем число, которое надо добавить и вычесть:
\[
\left(\frac{5}{2}\right)^2 = \frac{25}{4}.
\]
Добавим и вычтем \(\frac{25}{4}\):
\[
4\left(x^2 + 5x + \frac{25}{4} — \frac{25}{4}\right) + 28 = 4\left((x + \frac{5}{2})^2 — \frac{25}{4}\right) + 28.
\]
Раскроем скобки:
\[
4(x + \frac{5}{2})^2 — 4 \cdot \frac{25}{4} + 28 = 4(x + \frac{5}{2})^2 — 25 + 28 = 4(x + \frac{5}{2})^2 + 3.
\]
Перепишем выражение:
\[
4x^2 + 20x + 28 = 4\left(x + \frac{5}{2}\right)^2 + 3.
\]
Квадратное выражение всегда неотрицательно, следовательно
\[
4\left(x + \frac{5}{2}\right)^2 \geq 0,
\]
а число 3 положительно. Значит, всё выражение строго больше нуля для любого \(x\).
Минимальное значение выражения равно 3 и достигается при \(x = -\frac{5}{2}\).
Алгебра
