ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 655 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Разложите на множители многочлен, предварительно представив его в виде разности квадратов двух выражений:

1) а4 + а2 + 1;

2) х2 — у2 + 4х — 4у;

3) а2b2 + 2ab — с2 — 8с -15;

4) 8а2 — 12а + 2ab — b2 + 4.

1) \[a^4 + a^2 + 1 = a^4 + 2a^2 + 1 — a^2 = (a^2 + 1)^2 — a^2 = (a^2 + 1 — a)\]

\[(a^2 + 1 + a) = (a^2 — a + 1)(a^2 + a + 1)\]

2) \[x^2 — y^2 + 4x — 4y = x^2 + 4x + 4 — (y^2 + 4y + 4) = (x + 2)^2 -\]

\[(y + 2)^2 = (x + 2 — (y + 2))(x + 2 + y + 2) = (x — y)(x + y + 4)\]

3) \[a^2b^2 + 2ab — c^2 — 8c — 15 = a^2b^2 + 2ab + 1 — (c^2 + 8c + 16) =\]

\[(ab + 1)^2 — (c + 4)^2 = (ab + 1 — c — 4)(ab + 1 + c + 4) = \]

\[(ab + c + 5)(ab — c — 3)\]

4) \[8a^2 — 12a + 2ab — b^2 + 4 = 9a^2 — 12a + 4 — (a^2 — 2ab + b^2) =\]

\[(3a — 2)^2 — (a — b)^2 = (3a — 2 — a + b)(3a — 2 + a — b) =\]

\[(2a + b — 2)(4a — b — 2)\]

1)

$a^4 + a^2 + 1$

Шаг 1: Заметим, что можно попробовать представить выражение как разность квадратов.
Однако сначала удобно «добавить и вычесть» $a^2$, чтобы создать полный квадрат:

$$a^4 + a^2 + 1 = a^4 + 2a^2 + 1 — a^2$$

Шаг 2: Преобразуем первые три слагаемых:

$$a^4 + 2a^2 + 1 = (a^2 + 1)^2$$

Итак:

$$a^4 + a^2 + 1 = (a^2 + 1)^2 — a^2$$

Шаг 3: Получилось выражение в виде разности квадратов:

$$(A^2 — B^2) = (A — B)(A + B)$$

Где $A = a^2 + 1$, $B = a$.
Тогда:

$$(a^2 + 1)^2 — a^2 = (a^2 + 1 — a)(a^2 + 1 + a)$$

Шаг 4: Приводим подобные:

$$= (a^2 — a + 1)(a^2 + a + 1)$$

Ответ:

$$\boxed{(a^2 — a + 1)(a^2 + a + 1)}$$

2)

$$x^2 — y^2 + 4x — 4y$$

Шаг 1: Группируем по переменным:

$$(x^2 + 4x) — (y^2 + 4y)$$

Шаг 2: Добавим и вычтем числа, чтобы получить полные квадраты:

$$x^2 + 4x = (x + 2)^2 — 4$$ $$y^2 + 4y = (y + 2)^2 — 4$$

Подставим:

$$[(x + 2)^2 — 4] — [(y + 2)^2 — 4] = (x + 2)^2 — (y + 2)^2$$

Шаг 3: Разность квадратов:

$$(x + 2)^2 — (y + 2)^2 = [(x + 2) — (y + 2)][(x + 2) + (y + 2)]$$

Шаг 4: Приводим выражения:

$$(x + 2 — y — 2)(x + 2 + y + 2) = (x — y)(x + y + 4)$$

Ответ:

$$\boxed{(x — y)(x + y + 4)}$$

3)

$$a^2b^2 + 2ab — c^2 — 8c — 15$$

Шаг 1: Группируем:

$$(a^2b^2 + 2ab + 1) — (c^2 + 8c + 16)$$

Пояснение:

• $a^2b^2 + 2ab + 1 = (ab)^2 + 2ab + 1 = (ab + 1)^2$
• $c^2 + 8c + 16 = (c + 4)^2$

Шаг 2: Подставим:

$$(ab + 1)^2 — (c + 4)^2$$

Шаг 3: Разность квадратов:

$$(ab + 1 — c — 4)(ab + 1 + c + 4) = (ab — c — 3)(ab + c + 5)$$

Ответ:

$$\boxed{(ab — c — 3)(ab + c + 5)}$$

4)

$$8a^2 — 12a + 2ab — b^2 + 4$$

Это выражение на первый взгляд сложно, но воспользуемся трюком: попробуем представить как разность двух квадратов.

Шаг 1: Разобьём:

Группируем:

$$(9a^2 — 12a + 4) — (a^2 — 2ab + b^2)$$

Объяснение:

• $9a^2 — 12a + 4 = (3a — 2)^2$
• $a^2 — 2ab + b^2 = (a — b)^2$

Проверим:

$$(3a — 2)^2 = 9a^2 — 12a + 4 \quad \text{✔}$$ $$(a — b)^2 = a^2 — 2ab + b^2 \quad \text{✔}$$

Шаг 2: Получаем разность квадратов:

$$(3a — 2)^2 — (a — b)^2$$

Шаг 3: Применяем формулу:

$$(3a — 2 — (a — b))(3a — 2 + (a — b))$$

Раскроем скобки:

Первая скобка:

$$3a — 2 — a + b = 2a + b — 2$$

Вторая скобка:

$$3a — 2 + a — b = 4a — b — 2$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle (2a+b-2)(4a-b-2)}}$$