ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 656 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Представьте многочлен в виде суммы или разности квадратов двух выражений:

1) а4 + 17а2 + 16;

2) х2 + у2 — 10х +14у + 74;

3) 2х2 — 6ху + 9у2 — 6х + 9;

4) х2 — у2 — 4х — 2у + 3.

1) \[a^4 + 17a^2 + 16 = a^4 + 8a^2 + 9a^2 + 16 = (a^4 + 8a^2 + 16) + 9a^2 =\]

\[=(a^2 + 4)^2 + (3a)^2\]

2) \[x^2 + y^2 — 10x + 14y + 74 = (x^2 — 10x + 25) + (y^2 + 14y + 49) =\]

\[=(x — 5)^2 + (y + 7)^2\]

3) \[2x^2 — 6xy + 9y^2 — 6x + 9 = (x^2 — 6xy + 9y^2) + (x^2 — 6x + 9) = \]

\[=(3y)^2 + (x — 3)^2\]

4) \[x^2 — 14x — 2y + 3 = x^2 — 4x + 4 — 1 — y^2 — 2y = (x^2 — 4x + 4) -\]

\[-(y^2 + 2y + 1) = (x — 2)^2 — (y + 1)^2\]

1)

$$a^4 + 17a^2 + 16$$

Шаг 1: Разделим среднее слагаемое на две части, чтобы построить полный квадрат

$$= a^4 + 8a^2 + 9a^2 + 16$$

(Мы разбили $17a^2$ на $8a^2 + 9a^2$, чтобы первая тройка слагаемых была похожа на квадрат двучлена.)

Шаг 2: Сгруппируем

$$= (a^4 + 8a^2 + 16) + 9a^2$$

Шаг 3: Узнаем в первой скобке полный квадрат

$$a^4 + 8a^2 + 16 = (a^2 + 4)^2$$

Проверка:

$$(a^2 + 4)^2 = a^4 + 8a^2 + 16$$

Шаг 4: Перепишем с учетом этого

$$= (a^2 + 4)^2 + 9a^2$$

Шаг 5: Заметим, что $9a^2 = (3a)^2$, значит:

$$= (a^2 + 4)^2 + (3a)^2$$

Ответ:

$$\boxed{(a^2 + 4)^2 + (3a)^2}$$

2)

$$x^2 + y^2 — 10x + 14y + 74$$

Шаг 1: Группируем по переменным

$$= (x^2 — 10x) + (y^2 + 14y) + 74$$

Шаг 2: Завершим до полных квадратов

• $x^2 — 10x = (x — 5)^2 — 25$
• $y^2 + 14y = (y + 7)^2 — 49$

Шаг 3: Подставим в исходное выражение

$$= [(x — 5)^2 — 25] + [(y + 7)^2 — 49] + 74$$

Шаг 4: Объединим константы

$$-25 — 49 + 74 = 0$$ $$= (x — 5)^2 + (y + 7)^2$$

Ответ:

$$\boxed{(x — 5)^2 + (y + 7)^2}$$

3)

$$2x^2 — 6xy + 9y^2 — 6x + 9$$

Шаг 1: Разобьем на группы по смыслу

Сначала заметим, что:

• $x^2 — 6xy + 9y^2 = (x — 3y)^2$
• $x^2 — 6x + 9 = (x — 3)^2$

Попробуем сгруппировать соответственно:

$$= (x^2 — 6xy + 9y^2) + (x^2 — 6x + 9)$$

Но в исходном выражении есть 2x², а тут две группы с x², значит разобьем:

$$2x^2 — 6xy + 9y^2 — 6x + 9 = (x^2 — 6xy + 9y^2) + (x^2 — 6x + 9)$$

Шаг 2: Проверим обе скобки

• $x^2 — 6xy + 9y^2 = (x — 3y)^2$
• $x^2 — 6x + 9 = (x — 3)^2$

Шаг 3: Перепишем

$$= (x — 3y)^2 + (x — 3)^2$$

Ответ:

$$\boxed{(x — 3y)^2 + (x — 3)^2}$$

4)

$$x^2 — y^2 — 4x — 2y + 3$$

Шаг 1: Группируем по переменным

$$= (x^2 — 4x) — (y^2 + 2y) + 3$$

Шаг 2: Завершим до квадратов

• $x^2 — 4x = (x — 2)^2 — 4$
• $y^2 + 2y = (y + 1)^2 — 1$

Подставим:

$$= [(x — 2)^2 — 4] — [(y + 1)^2 — 1] + 3$$

Шаг 3: Раскроем скобки

$$= (x — 2)^2 — 4 — (y + 1)^2 + 1 + 3$$

Шаг 4: Объединим числа

$$-4 + 1 + 3 = 0$$

Итого:

$$= (x — 2)^2 — (y + 1)^2$$

Ответ:

$$\boxed{{\displaystyle (x-2{)}^2-(y+1{)}^2}}$$