ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 663 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Найдите стороны прямоугольника, имеющего наибольшую площадь из всех прямоугольников, периметр каждого из которых равен 20 см.

Пусть одна сторона прямоугольника \(x\) см, тогда другая сторона прямоугольника равна \(20 : 2 — x = 10 — x\) см.

Составим выражение и найдем наибольшую площадь прямоугольника:

\[
x(10 — x) = 10x — x^2 = 10x — x^2 + 25 — 25 = — (x^2 — 10x + 25) +\]

\[+25 = 25 — (x — 5)^2;
\]

при \(x = 5\) значение выражения будет наибольшим:

\[
25 — (5 — 5)^2 = 25 — 0^2 = 25 \, (\text{см}^2).
\]

Значит, прямоугольник будет иметь стороны, равные по 5 см, то есть, это квадрат.

Ответ: \(5 \, \text{см} \times 5 \, \text{см}\).

Пусть одна сторона прямоугольника равна \(x\) см, тогда другая сторона прямоугольника равна \(10 — x\) см, так как сумма обеих сторон равна 10 см:

\[
\text{Другая сторона} = 10 — x
\]

Теперь составим выражение для площади прямоугольника:

\[
S(x) = x(10 — x)
\]

Раскроем скобки, чтобы получить выражение для площади:

\[
S(x) = 10x — x^2
\]

Теперь видим, что выражение имеет вид параболы, и его максимум будет достигаться в вершине параболы. Для этого перепишем выражение следующим образом, добавив и вычтя \(25\):

\[
S(x) = 10x — x^2 + 25 — 25 = — (x^2 — 10x + 25) + 25
\]

Теперь выражение принимает вид:

\[
S(x) = 25 — (x — 5)^2
\]

Из этого выражения видно, что максимальное значение площади достигается, когда \((x — 5)^2 = 0\), то есть, когда \(x = 5\):

\[
S(5) = 25 — (5 — 5)^2 = 25 — 0^2 = 25
\]

Таким образом, максимальная площадь прямоугольника равна 25 см², и это происходит, когда обе стороны прямоугольника равны 5 см. То есть, прямоугольник становится квадратом.

Ответ: \(5 \, \text{см} \times 5 \, \text{см}\).