Учебник по алгебре для 7 класса, написанный известными авторами Мерзляком, Полонским и Якиром, представляет собой современное и доступное пособие, предназначенное для учащихся. Он охватывает основные темы алгебры, соответствующие требованиям образовательной программы.
Основные темы
- Числовые выражения и их свойства: Изучение операций с числами, порядок выполнения действий.
- Алгебраические выражения: Понятие переменной, сложение, вычитание, умножение и деление алгебраических выражений.
- Уравнения и неравенства: Решение линейных уравнений и неравенств, применение их в задачах.
- Функции и графики: Введение в понятие функции, построение графиков простейших функций.
- Системы уравнений: Основы решения систем линейных уравнений.
Учебник по алгебре для 7 класса Мерзляка, Полонского и Якира является незаменимым пособием для учащихся, желающих углубить свои знания в области алгебры и подготовиться к более сложным темам в дальнейшем обучении.
ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 684 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы
Представьте в виде произведения выражение:
1) (b — 5)3 + 125;
2) (4 — 3х)3 — 8х3;
3) (а — b)3 + (а + b)3;
4) (с + 3)3 — (с — З)3.
1) \((b — 5)^3 + 125 = (b — 5)^3 + 5^3 = ((b — 5) + 5)\).
\[
((b — 5)^2 — 5(b — 5) + 5^2) = b \cdot (b^2 — 10b + 25 — 5b + 25 + 25) =\]
\[=b \cdot (b^2 — 15b + 75).
\]
2) \((4 — 3x)^3 — 8x^3 = ((4 — 3x) — 2x) ((4 — 3x)^2 + 2x(4 — 3x) + 4x^2)\).
\[
= (4 — 5x)(16 — 24x + 9x^2 + 8x — 6x^2 + 4x^2) = (4 — 5x) \cdot\]
\[\cdot(7x^2 — 16x + 16).
\]
3) \((a — b)^3 + (a + b)^3 = ((a — b) + (a + b))\).
\[
((a — b)^2 — (a — b)(a + b) + (a + b)^2) = (a — b + a + b).
\]
\[
(a^2 — 2ab + b^2 — a^2 + b^2 + a^2 + 2ab + b^2) = 2a \cdot (a^2 + 3b^2).
\]
4) \((c + 3)^3 — (c — 3)^3 = (c + 3) — (c — 3)\).
\[
((c + 3)^2 + (c + 3)(c — 3) + (c — 3)^2) = (c + 3 — c + 3).
\]
\[
(c^2 + 6c + 9 + c^2 — 9 + c^2 — 6c + 9) = 6 \cdot (3c^2 + 9) = 18 \cdot (c^2 + 3).
\]
1) \((b — 5)^3 + 125 = (b — 5)^3 + 5^3 = ((b — 5) + 5)\):
Решение:
Это выражение представляет собой сумму кубов. Мы можем разложить его с использованием формулы для суммы кубов \((x^3 + y^3) = (x + y)(x^2 — xy + y^2)\), где \(x = b — 5\) и \(y = 5\). Подставляем:
\[
(b — 5)^3 + 125 = (b — 5 + 5)((b — 5)^2 — 5(b — 5) + 5^2)
\]
Теперь раскрываем скобки:
\[
(b — 5)^2 — 5(b — 5) + 5^2 = b \cdot (b^2 — 10b + 25 — 5b + 25 + 25)
\]
Упростим:
\[
b \cdot (b^2 — 15b + 75)
\]
Ответ: \(b \cdot (b^2 — 15b + 75)\).
2) \((4 — 3x)^3 — 8x^3 = ((4 — 3x) — 2x) ((4 — 3x)^2 + 2x(4 — 3x) + 4x^2)\):
Решение:
Это выражение является разностью кубов. Мы используем формулу для разности кубов \((x^3 — y^3) = (x — y)(x^2 + xy + y^2)\), где \(x = 4 — 3x\) и \(y = 2x\). Подставляем:
\[
(4 — 3x)^3 — 8x^3 = ((4 — 3x) — 2x) ((4 — 3x)^2 + 2x(4 — 3x) + 4x^2)
\]
Теперь раскрываем выражение:
\[
(4 — 3x)(16 — 24x + 9x^2 + 8x — 6x^2 + 4x^2) = (4 — 5x)(7x^2 — 16x + 16)
\]
Ответ: \((4 — 5x)(7x^2 — 16x + 16)\).
3) \((a — b)^3 + (a + b)^3 = ((a — b) + (a + b))\):
Решение:
Это выражение является суммой кубов. Используем формулу для суммы кубов \((x^3 + y^3) = (x + y)(x^2 — xy + y^2)\), где \(x = a — b\) и \(y = a + b\):
\[
(a — b)^3 + (a + b)^3 = (a — b + a + b)((a — b)^2 — (a — b)(a + b) +\]
\[+(a + b)^2)
\]
Теперь раскрываем и упрощаем:
\[
(a^2 — 2ab + b^2 — a^2 + b^2 + a^2 + 2ab + b^2) = 2a \cdot (a^2 + 3b^2)
\]
Ответ: \(2a \cdot (a^2 + 3b^2)\).
4) \((c + 3)^3 — (c — 3)^3 = (c + 3) — (c — 3)\):
Решение:
Это выражение является разностью кубов. Используем формулу для разности кубов \((x^3 — y^3) = (x — y)(x^2 + xy + y^2)\), где \(x = c + 3\) и \(y = c — 3\):
\[
(c + 3)^3 — (c — 3)^3 = (c + 3 — (c — 3))((c + 3)^2 +\]
\[+(c + 3)(c — 3) + (c — 3)^2)
\]
Теперь раскрываем и упрощаем:
\[
(c^2 + 6c + 9 + c^2 — 9 + c^2 — 6c + 9) = 6 \cdot (3c^2 + 9) = 18 \cdot (c^2 + 3)
\]
Ответ: \(18 \cdot (c^2 + 3)\).
Алгебра
