ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 696 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Докажите, что сумма кубов двух последовательных натуральных чисел, ни одно из которых не кратно 3, делится нацело на 9.

Пусть два последовательных числа, не делящиеся на 3, будут \(3n — 1\) и \(3n + 1\).

\[
\frac{(3n — 1)^3 + (3n + 1)^3}{9} =
\]

\[
\frac{(3n — 1 + 3n + 1)((3n — 1)^2 — (3n — 1)(3n + 1) + (3n + 1)^2)}{9} =
\]

\[
\frac{6n \cdot (9n^2 — 6n + 1 — 9n^2 — 3n + 3n + 1 + 9n^2 + 6n + 1)}{9} =
\]

\[
\frac{6n \cdot (9n^2 + 3)}{9} = \frac{6n \cdot 3 \cdot (3n^2 + 1)}{9} =\frac{18n \cdot (3n^2 + 1)}{9} =
\]

\[
2n \cdot (3n^2 + 1)
\]

Задача: Пусть два последовательных числа, не делящиеся на 3, будут \(3n — 1\) и \(3n + 1\).

 \(\frac{(3n — 1)^3 + (3n + 1)^3}{9} =\)

Решение:

Начнем с применения формулы для суммы кубов. Мы знаем, что:

\[
x^3 + y^3 = (x + y)(x^2 — xy + y^2)
\]

Подставляем \(x = 3n — 1\) и \(y = 3n + 1\):

\[
(3n — 1)^3 + (3n + 1)^3 = ((3n — 1) + (3n + 1))((3n — 1)^2 -\]

\[(3n — 1)(3n + 1) + (3n + 1)^2)
\]

Вычислим сумму чисел \( (3n — 1) + (3n + 1) = 6n \), подставим это в выражение:

\[
\frac{6n \cdot ((3n — 1)^2 — (3n — 1)(3n + 1) + (3n + 1)^2)}{9}
\]

Теперь раскрываем квадраты и произведения:

\[
(3n — 1)^2 = 9n^2 — 6n + 1
\]

\[
(3n + 1)^2 = 9n^2 + 6n + 1
\]

\[
(3n — 1)(3n + 1) = 9n^2 — 1
\]

Теперь подставляем эти значения в исходное выражение:

\[
\frac{6n \cdot (9n^2 — 6n + 1 — 9n^2 — 1 + 9n^2 + 6n + 1)}{9}
\]

Упрощаем выражение внутри скобок:

\[
9n^2 — 6n + 1 — 9n^2 — 1 + 9n^2 + 6n + 1 = 9n^2 + 3
\]

Теперь подставляем это в числитель:

\[
\frac{6n \cdot (9n^2 + 3)}{9}
\]

Вынесем \(3\) из числителя:

\[
\frac{6n \cdot 3 \cdot (3n^2 + 1)}{9}
\]

Упростим дробь:

\[
\frac{18n \cdot (3n^2 + 1)}{9} = 2n \cdot (3n^2 + 1)
\]

Ответ: \(2n \cdot (3n^2 + 1)\).