ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 715 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Разложите на множители:

1) а7 + аb6;

2) х8 — y8;

3) с6 — 1.

$a^7 + ab^6 = a(a^6 + b^6) = a(a^2 + b^2)(a^4 — a^2b^2 + b^4)$;

${\mathrm{2)\; x}}^8-y^8=(x^4-y^4)(x^4+y^4)=(x^2-y^2)(x^2+y^2)(x^4+y^4)=$

$x^8 — y^8 = (x^4 — y^4)(x^4 + y^4) = (x^2 — y^2)(x^2 + y^2)(x^4 + y^4) = (x — y)(x + y)(x^2 + y^2)(x^4 + y^4)$;

$c^6 — 1 = (c^3 — 1)(c^3 + 1) = (c — 1)(c^2 + c + 1)(c + 1)(c^2 — c + 1)$.

1) $a^7+a{b}^6$

Шаг 1: Вынесем общий множитель за скобку.
Обе части содержат множитель $a$, поэтому:

$$a^7+a{b}^6=a(a^6+b^6)$$

Шаг 2: Распишем $a^6+b^6$.
Эта сумма не является стандартной формулой сокращённого умножения, но её можно разложить по схеме:

$$a^6+b^6=(a^2{)}^3+(b^2{)}^3$$

Это сумма кубов:

$$A^3+B^3=(A+B)(A^2-AB+B^2)$$

Заменим $A=a^2$, $B=b^2$:

$$a^6+b^6=(a^2+b^2)(a^4-a^2{b}^2+b^4)$$

Шаг 3: Подставим это разложение обратно:

$$a(a^6+b^6)=a(a^2+b^2)(a^4-a^2{b}^2+b^4)$$

Ответ:

$$a^7+a{b}^6=a(a^6+b^6)=a(a^2+b^2)(a^4-a^2{b}^2+b^4)$$

2) $x^8-y^8$

Шаг 1: Заметим, что это разность квадратов:

$$x^8-y^8=(x^4{)}^2-(y^4{)}^2=(x^4-y^4)(x^4+y^4)$$

Применили формулу:

$$A^2-B^2=(A-B)(A+B)$$

Шаг 2: Разложим $x^4-y^4$. Это снова разность квадратов:

$$x^4-y^4=(x^2{)}^2-(y^2{)}^2=(x^2-y^2)(x^2+y^2)$$

Шаг 3: Подставим полученное разложение в предыдущее:

$$x^8-y^8=(x^4-y^4)(x^4+y^4)=(x^2-y^2)(x^2+y^2)(x^4+y^4)$$

Шаг 4: Разложим $x^2-y^2$ по формуле разности квадратов:

$$x^2-y^2=(x-y)(x+y)$$

Шаг 5: Подставим:

$$x^8-y^8=(x-y)(x+y)(x^2+y^2)(x^4+y^4)$$

Ответ:

$$x^8-y^8=(x^4-y^4)(x^4+y^4)=(x^2-y^2)(x^2+y^2)(x^4+y^4)=$$

$$=(x-y)(x+y)(x^2+y^2)(x^4+y^4)$$

3) $c^6-1$

Шаг 1: Видим разность квадратов:

$$c^6-1=(c^3{)}^2-1^2=(c^3-1)(c^3+1)$$

Шаг 2: Разложим каждую скобку по формулам кубов:

1. $c^3-1=(c-1)(c^2+c+1)$
2. $c^3+1=(c+1)(c^2-c+1)$

$$A^3-B^3=(A-B)(A^2+AB+B^2)$$

$$$$$$A^3+B^3=(A+B)(A^2-AB+B^2)$$

Шаг 3: Подставим эти разложения:

$$c^6-1=(c^3-1)(c^3+1)=(c-1)(c^2+c+1)(c+1)(c^2-c+1)$$

Ответ:

$$c^6-1=(c^3-1)(c^3+1)=(c-1)(c^2+c+1)(c+1)(c^2-c+1)$$