ГДЗ по Алгебре 7 Класс Номер 749 Мерзляк, Полонский, Якир — Подробные Ответы

Постройте отрезки АВ и CD и найдите координаты точки пересечения этих отрезков, если А (-5; -2); В (1; 4); С (-3; 2); D (2;-3).

Координаты точки пересечения (-2; 1).

Найти координаты точки пересечения отрезков $AB$ и $CD$, если:

$$A(-5; -2), \quad B(1; 4), \quad C(-3; 2), \quad D(2; -3)$$

Шаг 1. Найдём уравнения прямых AB и CD

Мы найдём уравнение прямой, проходящей через каждую пару точек. Потом найдём точку пересечения прямых, и проверим, лежит ли она на обоих отрезках.

Прямая AB

Общие координаты:

$$A(x_1 = -5,\; y_1 = -2), \quad B(x_2 = 1,\; y_2 = 4)$$

Находим направление (вектор):

$$\vec{AB} = (x_2 — x_1,\; y_2 — y_1) = (1 — (-5),\; 4 — (-2)) = (6,\; 6)$$

Уравнение прямой через точку A:

$$x = -5 + 6t,\quad y = -2 + 6t \quad \text{(параметрическое уравнение прямой AB)}$$

Прямая CD

Координаты:

$$C(x_1 = -3,\; y_1 = 2), \quad D(x_2 = 2,\; y_2 = -3)$$

Вектор:

$$\vec{CD} = (2 — (-3),\; -3 — 2) = (5,\; -5)$$

Уравнение прямой через точку C:

$$x = -3 + 5s,\quad y = 2 — 5s \quad \text{(параметрическое уравнение прямой CD)}$$

Шаг 2. Найдём точку пересечения прямых

Подставим параметрические уравнения AB и CD:

$$x_{AB} = -5 + 6t,\quad y_{AB} = -2 + 6t$$ $$x_{CD} = -3 + 5s,\quad y_{CD} = 2 — 5s$$

Решим систему:

$$-5 + 6t = -3 + 5s \quad \text{(1)}$$ $$-2 + 6t = 2 — 5s \quad \text{(2)}$$

Решим (1):

$$6t — 5s = -3 + 5 -2 = 2 \quad \Rightarrow \quad 6t — 5s = 2 \quad \text{(1′)}$$

Решим (2):

$$6t + 5s = 4 \quad \text{(2′)}$$

Теперь сложим уравнения (1′) и (2′):

$$(6t — 5s) + (6t + 5s) = 2 + 4 \Rightarrow 12t = 6 \Rightarrow t = \frac{1}{2}$$

Подставим $t = \frac{1}{2}$ в (1′):

$$6 \cdot \frac{1}{2} — 5s = 2 \Rightarrow 3 — 5s = 2 \Rightarrow 5s = 1 \Rightarrow s = \frac{1}{5}$$

Шаг 3. Найдём координаты точки пересечения

Подставим $t = \frac{1}{2}$ в уравнение AB:

$$x = -5 + 6 \cdot \frac{1}{2} = -5 + 3 = -2$$ $$y = -2 + 6 \cdot \frac{1}{2} = -2 + 3 = 1$$

Точка пересечения:

$$P(-2;\; 1)$$

Шаг 4. Проверим, принадлежит ли точка отрезкам

• Для $AB$: $t = \frac{1}{2} \in [0, 1]$ — принадлежит
• Для $CD$: $s = \frac{1}{5} \in [0, 1]$ — принадлежит

Значит, точка пересечения действительно принадлежит обоим отрезкам.

Ответ:

$$\text{Точка пересечения отрезков AB и CD: }P(-2;1)$$